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모든 단일 대칭 분해를 수행하여 많은 실제 대칭 50×50 행렬의 최대 고유 값을 계산하는 프로그램이 있습니다. SVD는 프로그램의 병목 현상입니다.

가장 큰 고유 값을 찾는 데 훨씬 더 빠른 알고리즘이 있습니까?

최대 고유 값에 필요한 정밀도에 따라 Power Iteration을 사용해 볼 수 있습니다.

구체적인 예를 들어, 명시 적으로 작성하지는 않지만 각 반복에서 를 계산합니다. 계산 하려면 연산이 필요하지만 행렬-벡터 곱에는 만 필요합니다 . $A = X X^{T}$

A = X X^{T}

$A=XX^\mathsf{T}$ $x \leftarrow X (X^{T} x)$

x \leftarrow X (X^{T} x)

$x \leftarrow X(X^\mathsf{T}x)$ $A$

A

$A$ $O (n^{3})$

O (n^{3})

$\mathcal O(n^3)$ $O (n^{2})$

O (n^{2})

$\mathcal O(n^2)$

수렴 률은 가장 큰 두 고유 값 사이의 분리에 따라 다르므로 모든 경우에 좋은 해결책이 아닐 수 있습니다.

5 개의 고유 값 만 매우 중요한 경우 행렬 벡터로 곱하는 를 사용하는 Lanczsos 알고리즘은 5 개의 초기 단계 후에 빠른 선형 수렴을 제공하므로 반복 횟수가 거의없는 상당히 정확한 고유 값입니다. $X (X^{T} x)$

X (X^{T} x)

$X(X^Tx)$

와 같은 양의 반 정규 행렬의 경우 스펙트럼 시프트로 수렴을 가속화하는 노력이 필요합니다 . 즉, 적당한 스칼라 선택되고 전원 방법에 적용 대신 . $A = X X^{T}$

A = X X^{T}

$A = XX^T$ $μ$

μ

$\mu$ $A - μ I$

A - μ I

$A - \mu I$ $A$

A

$A$

$| | A x | | / | | x | |$

| | A x | | / | | x | |

$||Ax||/||x||$ $λ_{1}$

λ_{1}

$\lambda_1$ $[0, \frac{5}{6} λ_{1}]$

[0, \frac{5}{6} λ_{1}]

$[0,\frac{5}{6} \lambda_1]$ $A - \frac{5}{12} λ_{1} I$

A - \frac{5}{12} λ_{1} I

$A - \frac{5}{12} \lambda_1 I$ $\frac{7}{12} λ_{1}$

\frac{7}{12} λ_{1}

$\frac{7}{12} \lambda_1$ $[\frac{- 5}{12} λ_{1}, \frac{5}{12} λ_{1}]$

[\frac{- 5}{12} λ_{1}, \frac{5}{12} λ_{1}]

$[\frac{-5}{12} \lambda_1, \frac{5}{12} \lambda_1]$

$A - μ I$

A - μ I

$A - \mu I$ $λ_{1}$

λ_{1}

$\lambda_1$ $μ$

μ

$\mu$

$A - μ I$

A - μ I

$A - \mu I$ $(A - μ I) x = X (X^{T} x) - μ x$

(A - μ I) x = X (X^{T} x) - μ x

$(A - \mu I)x = X(X^Tx) - \mu x$ $O (n^{2})$

O (n^{2})

$O(n^2)$

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