로그 합계 가능성을내는 방법

요소 x에 대한 각 액세스에 대해 사전 경로라고 하는 x 의 검색 경로 P 에있는 요소 만 사후 트리라고하는 일부 트리로 재배 열하 는 BST 알고리즘 를 고려해 봅시다 . 어떤 요소를 위해 ,하자 들 ( ) 및 S ‘ ( ) 를 루트로하는 서브 트리의 크기 전에 각각 재 배열 후. 따라서 S ( ) 및 S ‘ ( A는 ) IFF에 따라 다를 수도 ∈ P .A

$A$

$A$x

$x$

$x$P

$P$

$P$x

$x$

$x$a

$a$

$a$s(a)

$s(a)$

$s(a)$s′(a)

$s^{\prime }(a)$

$s'(a)$a

$a$

$a$s(a)

$s(a)$

$s(a)$s′(a)

$s^{\prime }(a)$

$s'(a)$a∈P

$a\in P$

$a \in P$

또한 는 언제든지 검색 경로에서 많은 요소를 끊임없이 재정렬합니다. 이 유형의 알고리즘을 “로컬”알고리즘이라고합니다. 예를 들어, 재생 트리는 로컬입니다. 지그재그, 지그재그로 한 번에 최대 3 개의 요소 만 재 배열합니다.A

$A$

$A$

이제 트리 뒤에 애프터 트리에 “많은”잎을 만드는 로컬 알고리즘에는 다음과 같은 멋진 속성이 있습니다.

매핑을 만들 수 있습니다 그러한를f:P→P

$f:P\to P$

$f: P \rightarrow P$

1. 많은 선형있다 ∈ P는 , 여기서 S ‘ ( F ( ) ) ≤ S ( ) / 2 .a∈P
   $a\in P$

   $a \in P$s′(f(a))≤s(a)/2

   $s^{\prime }(f(a))\le s(a)/2$

   $s'(f(a)) \le s(a)/2$

2. 지속적으로 많은있다 ∈ P는 여기서 의 ‘ ( F (a∈P
   $a\in P$

   $a \in P$ 크지 만 하찮게 대부분에있을 수 , n은 .s′(f(a))

   $s^{\prime }(f(a))$

   $s'(f(a))$n

   $n$

   $n$

3. 다른 요소 , s ‘ ( f ( a ) ) ≤a∈P
   $a\in P$

   $a \in P$ .s′(f(a))≤s(a)

   $s^{\prime }(f(a))\le s(a)$

   $s'(f(a)) \le s(a)$

검색 경로 변경을 펼쳐서이를 확인할 수 있습니다. 매핑은 실제로 매우 자연 스럽습니다. 이 논문 인 Splaying의 Global Geometric View 는 위의 관찰을 보는 방법을 자세히 보여줍니다.

이 사실을 알고 나면 로그 합계 가능성을 선택하는 것이 매우 당연합니다. 우리는 전체 재 배열 비용을 지불하기 위해 type-1 요소의 잠재적 변경을 사용할 수 있기 때문입니다. 또한 다른 유형의 요소의 경우 최대 로그에 의한 잠재적 변경에 대해 지불해야합니다. 따라서 대수 상각 비용을 도출 할 수 있습니다.

사람들이 이것이 “흑 마술”이라고 생각하는 이유는 이전 분석이 검색 경로의 전체적인 변화를 “펼치지”않고 실제로 한 단계에서 어떤 일이 일어나는지 확인하기 때문입니다. 대신, 그들은 각각의 “로컬 변환”에 대한 잠재력의 변화를 보여준 다음, 이러한 잠재적 변화가 마술처럼 망원경 될 수 있음을 보여줍니다.

추신이 논문은 심지어 로그의 합계 가능성의 한계를 보여줍니다. 즉 , 로컬 알고리즘에만 잠재적 인 로그 합을 통해 액세스 보조의 만족을 증명할 수 있습니다 .

로그 합계 잠재력의 해석

Georgakopoulos와 McClurkin의 논문 에서 BST의 잠재력을 정의하는 또 다른 방법이 있습니다. 이는 Sleator Tarjan의 논문에서 로그의 합계와 본질적으로 동일합니다. 그러나 이것은 나에게 좋은 직감을 제공합니다.

이제 종이 표기법으로 전환합니다. 모든 노드 u에 가중치 를 할당합니다 . W ( u ) 를 u 의 서브 트리 가중치의 합 이라고합시다 . (이것은 모든 노드의 가중치가 1 일 때 u 의 서브 트리 크기입니다 .)w(u)

$w(u)$

$w(u)$u

$u$

$u$W(u)

$W(u)$

$W(u)$u

$u$

$u$u

$u$

$u$

이제 노드에서 순위를 정의하는 대신 가장자리에 순위를 정의하여 진행률 이라고 합니다.

$$pf(e)=\log(W(u)/W(v)).$$

그리고 나무 S 의 잠재력S

$S$

$S$ 은

$$\Phi(S) = \sum_{e\in S} pf(e).$$

이 가능성은 자연스럽게 해석됩니다. 검색하는 동안 모서리 를 탐색하면 검색 공간이 u 의 자손에서 v 의 자손으로 감소하고 W ( u ) / W ( v )의 감소는 검색 공간을 줄입니다.(u,v)

$(u,v)$

$(u,v)$u

$u$

$u$v

$v$

$v$W(u)/W(v)

$W(u)/W(v)$

$W(u)/W(v)$ . 우리의 진척도는이 ‘진보’에 대한 로그 측정 값이므로 그 이름입니다. [2.4 절부터]

이것은 Sleator Tarjan의 잠재력과 거의 동일하며 경로에 추가적입니다.

편집 : 이 대안 적 정의와 그 직관은 오래 전에 Kurt Mehlhorn에 의해 설명되었습니다. 그의 책 “데이터 구조와 알고리즘”제 1 권 III 장을 참조하십시오. 6.1.2 플레이 트리, 페이지 263-274.

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