평균, 중앙값 및 모드의 기본 통계 개념에 대한이 단순하지만 심오한 질문에 감사합니다. 이러한 개념에 대한 산술보다는 직관적 인 이해를 설명하고 파악하는 데 사용할 수있는 몇 가지 훌륭한 방법 / 데모가 있지만, 불행히도 그것들은 널리 알려지지 않았습니다 (또는 학교에서 제 지식으로 가르치지 않음).

평균:

1. 균형점 : 받침점으로 평균

개념을 이해하는 가장 좋은 방법 은 균일 한 막대 의 균형점 으로 생각한다는 의미 입니다. {1,1,1,3,3,6,7,10}과 같은 일련의 데이터 포인트를 상상해보십시오. 이러한 각 점이 균일 한 막대에 표시되고 각 점에 동일한 가중치가 배치되면 (아래 그림 참조) 막대가 균형을 이루도록 데이터의 평균에 받침점을 배치해야합니다.

이 시각적 데모는 또한 산술 해석으로 이어집니다. 이것에 대한 산술적 근거는 받침점의 균형을 맞추기 위해 평균점으로부터의 총 음의 편차 (받침점의 왼쪽)가 평균 (오른쪽)에서의 총 양의 편차와 같아야한다는 것입니다. 따라서 평균은 분포에서 균형점으로 작용합니다 .

이 시각적은 데이터 포인트의 분포와 관련된 평균을 즉시 이해할 수있게합니다. 이 데모를 통해 쉽게 알 수있는 평균의 다른 속성은 평균이 항상 최소값과 최대 값 사이에 있다는 사실입니다. 또한 특이 치의 영향을 쉽게 이해할 수 있습니다. 특이 치의 존재는 균형점을 이동시켜 평균에 영향을 미칩니다.

2. 재분배 (공정한 몫) 가치

평균을 이해하는 또 다른 흥미로운 방법은 평균을 재분배 값 으로 생각하는 것입니다 . 이 해석은 평균 계산의 산술에 대한 이해가 필요하지만, 의인화 적 질, 즉 재분배의 사회주의 개념을 활용하여 평균의 개념을 직관적으로 파악합니다.

평균을 계산하려면 분포의 모든 값을 합산하고 (값 집합) 합계를 분포의 데이터 요소 수로 나눕니다.

$$\bar{x} = (\sum_{i=1}^n{x_i})/n$$

이 계산의 근거를 이해하는 한 가지 방법은 각 데이터 요소를 사과 (또는 다른 재미있는 항목)로 생각하는 것입니다. 이전과 동일한 예를 사용하여 샘플에 {1,1,1,3,3,6,7,10}의 8 명이 있습니다. 첫 번째 사람에게는 사과가 하나 있고 두 번째 사람에게는 사과가 하나 있습니다. 이제 모든 사람에게 “공평한”사과 수 를 재배포 하려는 경우 배포의 평균을 사용하여이 작업을 수행 할 수 있습니다. 즉, 분포가 공정하고 평등하도록 모든 사람에게 사과 4 개 (즉, 평균값)를 제공 할 수 있습니다. 이 데모는 위의 공식에 대한 직관적 인 설명을 제공합니다. 분포의 합을 데이터 포인트 수로 나누는 것은 분포 전체를 모든 데이터 포인트로 동일하게 분할하는 것과 같습니다.

3. 시각적 니모닉

다음 시각적 니모닉은 고유 한 방식으로 평균의 해석을 제공합니다.

이것은 평균 의 레벨링 값 해석을 위한 니모닉입니다 . A의 크로스바의 높이는 네 글자의 높이의 평균입니다.

그리고 이것은 평균 의 균형점 해석을 위한 또 하나의 니모닉입니다 . 받침점의 위치는 대략 M, E 및 두 배의 N 위치의 평균입니다.

중앙값

로드 의 균형점 으로서 평균의 해석 이 이해되면, 중간 값은 목걸이 같은 균형점 같은 동일한 아이디어의 확장에 의해 입증 될 수 있습니다 .

막대를 끈으로 교체하되 데이터 표시와 무게는 유지하십시오. 그런 다음 끝에서 첫 번째보다 긴 두 번째 끈을 부착하여 [목걸이와 같은] 고리를 형성하고 루프를 잘 윤활 된 도르래 위에 감습니다.

처음에 가중치가 다르다고 가정하십시오. 풀리와 루프는 같은 수의 웨이트가 각 측면에있을 때 균형을 맞 춥니 다. 다시 말해, 중앙값이 가장 낮은 지점 일 때 루프가 균형을 맞 춥니 다.

가중치 중 하나가 루프를 위로 미끄러 져 올라가면 이상 값을 만들면 루프가 움직이지 않습니다. 이것은 물리적으로 중앙값이 특이 치에 영향을받지 않는다는 원칙을 보여줍니다.

방법

이 모드는 가장 기본적인 수학 연산 (계수)을 포함하므로 이해하기 가장 쉬운 개념 일 것입니다. 그것은 약자에 가장 자주 발생하는 데이터 포인트 리드 동일하다는 사실 : ” M의 OST 종종 O ccurring D ATA E lement”.

모드는 세트에서 가장 일반적인 값 으로 생각할 수도 있습니다 . ( ‘전형적인’에 대한 더 깊은 이해는 대표 또는 평균값으로 이어질 것이지만 ‘전형적인’이라는 단어의 문자 그대로의 의미에 따라 ‘전형적인’모드와 모드를 동일시하는 것이 적절합니다.)

출처 :

• 중앙값은 균형점입니다-Lynch, College Mathematics Journal (2009)
• 통계를 기억에 남게 만들기 : 새로운 니모닉과 동기 부여-통계적 교육, JSM (2011)
• 교육 통계를위한 니모닉의 사용에 관한-덜, 모델 지원 통계 및 응용, 6 (2), 151-160 (2011)
• 그 의미는 무엇입니까? – Watier, Lamontagne and Chartier, 통계 교육 저널, 19 권, 2 호 (2011)
• 전형적인? 평균에 대한 어린이와 교사의 생각 – Russell and Mokros, ICOTS 3 (1990) 전체 참조 : http://www.amstat.org/publications/jse/v22n3/lesser.pdf

답변

set.seed(47730)
y <- rgamma(100, 2, 2)
d <- density(y)
plot(d)
rug(y)
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abline(v = median(y), lty = 2)
abline(v = d$x[which.max(d$y)], lty = 3)