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임의의 항목에 대한 정보를 요청할 수있는 웹 서비스가 있습니다. 모든 요청에 대해 각 품목은 반품 기회가 동일합니다.

항목을 계속 요청하고 중복 수와 고유 한 수를 기록 할 수 있습니다. 이 데이터를 사용하여 총 품목 수를 추정하려면 어떻게해야합니까?

답변

이것은 본질적으로 쿠폰 수집기 문제의 변형입니다.

이 경우 총 항목 및 샘플 크기 촬영 한 로 교체 한 후 확인 한 확률 고유 항목이다
$n$

n

$n$ $s$

s

$s$ $u$

u

$u$
여기서부여제 2 종 스털링 번호

P r (U = u | n, s) = \frac{S_{2} (s, u) n!}{(n - u)! n^{s}}

$Pr(U=u|n,s) = \frac{S_2(s,u) n! }{ (n-u)! n^s }$ $S_{2} (s, u)$

S_{2} (s, u)

$S_2(s,u)$

이제 대한 사전 분포 , Bayes 정리를 적용하고 대한 사후 분포를 됩니다. $P r (N = n)$

P r (N = n)

$Pr(N=n)$ $N$

N

$N$

답변

나는 이미 두 번째 종류의 스털링 수와 베이지안 방법을 기반으로 제안을했습니다.

스털링 숫자가 너무 크거나 베이지안 방법이 너무 어려운 경우 거친 방법을 사용하는 것이 좋습니다

E [U | n, s] = n (1 - {(1 - \frac{1}{n})}^{s})

$E[U|n,s] = n\left( 1- \left(1-\frac{1}{n}\right)^s\right)$

v a r [U | n, s] = n {(1 - \frac{1}{n})}^{s} + n^{2} (1 - \frac{1}{n}) {(1 - \frac{2}{n})}^{s} - n^{2} {(1 - \frac{1}{n})}^{2 s}

$var[U|n,s] = n\left(1-\frac{1}{n}\right)^s + n^2 \left(1-\frac{1}{n}\right)\left(1-\frac{2}{n}\right)^s - n^2\left(1-\frac{1}{n}\right)^{2s}$

그리고 수치 방법을 사용하여 역 계산.

$s = 300$

s = 300

$s=300$ $U = 265$

U = 265

$U = 265$ $\hat{n} \approx 1180$

\hat{n} \approx 1180

$\hat{n} \approx 1180$

$U$

U

$U$ $n$

n

$n$

답변

Rcapture R 패키지 로 구현 된 캡처 캡처 방법을 사용할 수 있습니다 .

다음은 R로 코딩 된 예입니다. 웹 서비스에 N = 1000 개의 항목이 있다고 가정합니다. 우리는 n = 300 요청을 할 것입니다. 1에서 k까지의 요소에 번호를 매기는 랜덤 샘플을 생성하십시오. 여기서 k는 우리가 본 다른 아이템의 수입니다.

N = 1000; population = 1:N # create a population of the integers from 1 to 1000
n = 300 # number of requests
set.seed(20110406)
observation = as.numeric(factor(sample(population, size=n,
  replace=TRUE))) # a random sample from the population, renumbered
table(observation) # a table useful to see, not discussed
k = length(unique(observation)) # number of unique items seen
(t = table(table(observation)))

시뮬레이션 결과는

  1   2   3
234  27   4

따라서 300 건의 요청 중 4 번의 항목이 3 번, 27 번의 항목이 2 번, 234 개의 항목이 한 번만 표시되었습니다.

이제이 샘플에서 N을 추정하십시오.

require(Rcapture)
X = data.frame(t)
X[,1]=as.numeric(X[,1])
desc=descriptive(X, dfreq=TRUE, dtype="nbcap", t=300)
desc # useful to see, not discussed
plot(desc) # useful to see, not discussed
cp=closedp.0(X, dfreq=TRUE, dtype="nbcap", t=300, trace=TRUE)
cp

결과:

Number of captured units: 265

Abundance estimations and model fits:
                  abundance       stderr      deviance   df           AIC
M0**                  265.0          0.0  2.297787e+39  298  2.297787e+39
Mh Chao              1262.7        232.5  7.840000e-01    9  5.984840e+02
Mh Poisson2**         265.0          0.0  2.977883e+38  297  2.977883e+38
Mh Darroch**          553.9         37.1  7.299900e+01  297  9.469900e+01
Mh Gamma3.5**  5644623606.6  375581044.0  5.821861e+05  297  5.822078e+05

 ** : The M0 model did not converge
 ** : The Mh Poisson2 model did not converge
 ** : The Mh Darroch model did not converge
 ** : The Mh Gamma3.5 model did not converge
Note: 9 eta parameters has been set to zero in the Mh Chao model

$\hat{N}$

\hat{N}

$\hat{N}$

편집 : 위의 방법의 신뢰성을 확인하기 위해 위의 코드를 10000 개의 생성 된 샘플에서 실행했습니다. Mh Chao 모델은 매번 수렴되었습니다. 요약은 다음과 같습니다.

> round(quantile(Nhat, c(0, 0.025, 0.25, 0.50, 0.75, 0.975, 1)), 1)
    0%   2.5%    25%    50%    75%  97.5%   100%
 657.2  794.6  941.1 1034.0 1144.8 1445.2 2162.0
> mean(Nhat)
[1] 1055.855
> sd(Nhat)
[1] 166.8352

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표본 복제 및 고유 빈도로 모집단 크기 추정 모든 요청에 대해 각 품목은 반품 기회가

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