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증명 / 반증 $E [1_{A} | F_{t}] = 0 or 1 a.s. \Rightarrow E [1_{A} | F_{s}] = E [1_{A} | F_{t}] a.s.$

E [1_{A} | F_{t}] = 0 or 1 a.s. \Rightarrow E [1_{A} | F_{s}] = E [1_{A} | F_{t}] a.s.

$E[1_A | \mathscr{F_t}] = 0 \ \text{or} \ 1 \ \text{a.s.} \ \Rightarrow E[1_A | \mathscr{F_{s}}] = E[1_A | \mathscr{F_t}] \ \text{a.s.}$

필터링 확률 공간이 주어 ,하자 . $(Ω, F, {F_{n}}_{n \in N}, P)$

(Ω, F, {F_{n}}_{n \in N}, P)

$(\Omega, \mathscr{F}, \{\mathscr{F}_n\}_{n \in \mathbb{N}}, \mathbb{P})$ $A \in F$

A \in F

$A \in \mathscr{F}$

가정 이 따릅니 까 그무엇에 대한 ?

\exists t \in N s.t. E [1_{A} | F_{t}] = 1 a.s.

$\exists t \in \mathbb{N} \ \text{s.t.} \ E[1_A | \mathscr{F_t}] = 1 \ \text{a.s.}$

E [1_{A} | F_{s}] = E [1_{A} | F_{t}] a.s. \forall s > t ?

$E[1_A | \mathscr{F_{s}}] = E[1_A | \mathscr{F_t}] \ \text{a.s.} \ \forall s > t \ ?$ $\forall s < t$

\forall s < t

$\forall s < t$

대신아니면

\exists t \in N s.t. E [1_{A} | F_{t}] = 0 a.s. ?

$\exists t \in \mathbb{N} \ \text{s.t.} \ E[1_A | \mathscr{F_t}] = 0 \ \text{a.s.} \ ?$

E [1_{A} | F_{t}] = p a.s. for some p \in (0, 1) ?

$E[1_A | \mathscr{F_t}] = p \ \text{a.s.} \ \text{for some} \ p \in (0,1) \ ?$

내가 시도한 것 :

만약 다음 와 동일 (거의 확실). 이 경우 각 에 대해 (거의 확실합니다)입니다 . $E [1_{A} | F_{t}] = 1$

E [1_{A} | F_{t}] = 1

$\Bbb E[1_A|\mathscr F_t]=1$ $E [1_{A}] = 1$

E [1_{A}] = 1

$\Bbb E[1_A]=1$ $1_{A} = 1$

1_{A} = 1

$1_A=1$ $E [1_{A} | F_{s}] = 1$

E [1_{A} | F_{s}] = 1

$\Bbb E[1_A|\mathscr F_s]=1$ $s$

s

$s$

마찬가지로, 만약 , 다음 와 동일 (거의 확실). 이 경우 각 에 대해 (거의 확실합니다) . $E [1_{A} | F_{t}] = 0$

E [1_{A} | F_{t}] = 0

$\Bbb E[1_A|\mathscr F_t]=0$ $E [1_{A}] = 0$

E [1_{A}] = 0

$\Bbb E[1_A]=0$ $1_{A} = 0$

1_{A} = 0

$1_A=0$ $E [1_{A} | F_{s}] = 0$

E [1_{A} | F_{s}] = 0

$\Bbb E[1_A|\mathscr F_s]=0$ $s$

s

$s$

만약 , 일정에 대한 , 그 다음 우리가 $E [1_{A} | F_{t}] = p$

E [1_{A} | F_{t}] = p

$\Bbb E[1_A|\mathscr F_t]=p$ $p \in (0, 1)$

p \in (0, 1)

$p\in(0,1)$

$E [1_{A} | F_{s}] = E [E [1_{A} | F_{t}] | F_{s}] = E [p | F_{s}] = p$

E [1_{A} | F_{s}] = E [E [1_{A} | F_{t}] | F_{s}] = E [p | F_{s}] = p

$\Bbb E[1_A|\mathscr F_s]=E[E[1_A|\mathscr F_t]|\mathscr F_s] = E[p|\mathscr F_s] = p$ . 이면 실패 할 수 있습니다 . $s > t$

s > t

$s>t$

대안으로 경우 : $= p$

= p

$= p$

하자 한정된 수 -measurable 확률 변수. $F$

F

$F$ $F_{t}$

F_{t}

$\mathscr F_t$

E [1_{A} \cdot F] = E [E [1_{A} \cdot F | F_{t}]] = E [F \cdot E [1_{A} | F_{t}]]

$\Bbb E[1_A\cdot F]=\Bbb E[E[1_A\cdot F|\mathscr F_t]]=\Bbb E[F\cdot E[1_A|\mathscr F_t]]$

= E [p \cdot F] = p E [F] = E [1_{A}] \cdot E [F]

$=\Bbb E[p\cdot F]=p\Bbb E[F]=\Bbb E[1_A]\cdot\Bbb E[F]$

즉 와 독립적이다. 즉, 와 는 독립적입니다. 따라서 이므로 및 는 독립적 이므로 입니다. 이면 실패 할 수 있습니다 . $1_{A}$

1_{A}

$1_A$ $F$

F

$F$ $σ (A)$

σ (A)

$\sigma(A)$ $F_{t}$

F_{t}

$\mathscr F_t$ $σ (A)$

σ (A)

$\sigma(A)$ $F_{s}$

F_{s}

$\mathscr F_s$ $s < t$

s < t

$s<t$ $E [1_{A} | F_{s}] = E [1_{A}] = p$

E [1_{A} | F_{s}] = E [1_{A}] = p

$E[1_A|\mathscr F_s] = E[1_A] = p$ $s > t$

s > t

$s>t$

상수는 및 -measurable 과 독립적 $F_{s}$

F_{s}

$\mathscr F_s$ $F_{s}$

F_{s}

$\mathscr F_s$ 이라는 아이디어가 있습니다.

답변

당신의 주장은 유효 해 보이지만, 당신은 입니다. 그러나이 질문은 , 임의 변수 은 세트 값을 취합니다. 즉 여기서 입니다. 이 조건부 기대의 정의 특성은 모든 대해 입니다 . 특히, 취 하면 , 여기서 $E [1_{A} | F_{t}] = 1$

E [1_{A} | F_{t}] = 1

$E[1_A | \mathscr{F_t}] = 1$ $E [1_{A} | F_{t}] \in {0, 1}$

E [1_{A} | F_{t}] \in {0, 1}

$E[1_A | \mathscr{F_t}] \in \{0, 1\}$ $E [1_{A} | F_{t}]$

E [1_{A} | F_{t}]

$E[1_A | \mathscr{F_t}]$ ${0, 1}$

{0, 1}

$\{0, 1\}$ $E [1_{A} | F_{t}] = 1_{B}$

E [1_{A} | F_{t}] = 1_{B}

$E[1_A | \mathscr{F_t}]=1_B$ $B \in F_{t}$

B \in F_{t}

$B\in\mathscr{F_t}$ $\int_{F} 1_{B} d P = \int_{F} 1_{A} d P$

\int_{F} 1_{B} d P = \int_{F} 1_{A} d P

$\int_F 1_B d\mathbb{P}=\int_F 1_A d\mathbb{P}$ $F \in F_{t}$

F \in F_{t}

$F\in\mathscr{F_t}$ $F = B$

F = B

$F=B$ $P (B) = P (A \cap B)$

P (B) = P (A \cap B)

$P(B)=P(A\cap B)$ $B \subset A$

B \subset A

$B\subset A$ (가능성 가능성이 0 인 경우 제외). 그러나 우리는 (당신이 작성한 논증에서와 같이) 즉 이므로 가능한 결론은 (확률이 0 인 경우 제외)입니다. $E [E [1_{A} | F_{t}]] = E [1_{B}]$

E [E [1_{A} | F_{t}]] = E [1_{B}]

$E[E[1_A | \mathscr{F_t}]] = E[1_B]$ $P (A) = P (B)$

P (A) = P (B)

$P(A)=P(B)$ $A = B$

A = B

$A=B$

대한 , 조건부 기대의 타워 법이 의미하는 그래서 . 그러나 이므로 . 따라서 대한 모든 조건부 기대 값은 같습니다 . 대한 , 경우 우리는 여전히해야합니다 . 반면에 가 없는 시간으로 돌아 가면 아무 말도 할 수 없다고 생각합니다 $s > t$

s > t

$s\gt t$ $F_{t} \subset F_{s}$

F_{t} \subset F_{s}

$\mathscr{F_t}\subset\mathscr{F_s}$ $E [1_{A} | F_{t}] = E [E [1_{A} | F_{t}] | F_{s}]$

E [1_{A} | F_{t}] = E [E [1_{A} | F_{t}] | F_{s}]

$E[1_A | \mathscr{F_t}]=E[E[1_A | \mathscr{F_t}] | \mathscr{F_s}]$ $E [1_{A} | F_{t}] = 1_{A}$

E [1_{A} | F_{t}] = 1_{A}

$E[1_A | \mathscr{F_t}]=1_A$ $E [1_{A} | F_{s}] = 1_{A}$

E [1_{A} | F_{s}] = 1_{A}

$E[1_A | \mathscr{F_s}]=1_A$ $s > t$

s > t

$s>t$ $1_{A}$

1_{A}

$1_A$ $s < t$

s < t

$s<t$ $A \in F_{s}$

A \in F_{s}

$A\in\mathscr{F_s}$ $E [1_{A} | F_{s}] = 1_{A}$

E [1_{A} | F_{s}] = 1_{A}

$E[1_A | \mathscr{F_s}]=1_A$ $A$

A

$A$ $F_{s}$

F_{s}

$\mathscr{F_s}$ $E [1_{A} | F_{s}]$

E [1_{A} | F_{s}]

$E[1_A | \mathscr{F_s}]$ 일반적으로 . 구체적인 예는 그림 1 의이 백서를 참조하십시오. 예를 들어 하면 조건부 기대치 시퀀스 , , , . $A = {ω_{2}} \in F_{2} ∖ F_{1}$

A = {ω_{2}} \in F_{2} ∖ F_{1}

$A=\{\omega_2\}\in\mathscr{F_2}\setminus\mathscr{F_1}$ $E [1_{A} | F_{0}] = \frac{1}{8} 1_{Ω}$

E [1_{A} | F_{0}] = \frac{1}{8} 1_{Ω}

$E[1_A | \mathscr{F_0}]=\frac{1}{8} 1_\Omega$ $E [1_{A} | F_{1}] = \frac{1}{2} 1_{{ω_{1}, ω_{2}}}$

E [1_{A} | F_{1}] = \frac{1}{2} 1_{{ω_{1}, ω_{2}}}

$E[1_A | \mathscr{F_1}]=\frac{1}{2}1_{\{\omega_1,\omega_2\}}$ $E [1_{A} | F_{2}] = 1_{{ω_{2}}}$

E [1_{A} | F_{2}] = 1_{{ω_{2}}}

$E[1_A | \mathscr{F_2}]=1_{\{\omega_2\}}$ $E [1_{A} | F_{3}] = 1_{{ω_{2}}}$

E [1_{A} | F_{3}] = 1_{{ω_{2}}}

$E[1_A | \mathscr{F_3}]=1_{\{\omega_2\}}$

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