편집 : 힌트를 제거하고 내 솔루션을 게시했습니다.

여기 내 해결책이 있습니다. 우리는 기준점 선택하는거야 F ( X ) ∈ L을 과에서 우주 고려 X 와 F ( X ) 보기의 포인트. 포인트의 모든 "이웃"은 재귀 언어에 해당합니다. 그래서 L 주위 동네 F ( X는 ) 및 주변 일부 이웃있을 것이다 X 그것에 매핑; 이 동네는 재귀 언어입니다.x

$x$

$x$f(x)∈L

$f(x)\in L$

$f(x) \in L$x

$x$

$x$f(x)

$f(x)$

$f(x)$L

$L$

$L$f(x)

$f(x)$

$f(x)$x

$x$

$x$

렘마 이 공간에서 언어는 각 문자열의 이웃 인 경우에만 재귀 적입니다.

증거 . 먼저 재귀 언어 수정하고 x ∈ L을 보자 . K 를 L 에 대한 결정자의 최소 지수라고 합시다 . 그렇다면 우리가이 경우 Y ∉ L는 , s의 ( X , Y ) ≤ K 이므로 D ( X , Y ) ≥ 1 / 2 K . 따라서 d ( x , y ) < 1 / 2 K 는 y ∈L

$L$

$L$x∈L

$x\in L$

$x \in L$K

$K$

$K$L

$L$

$L$y∉L

$y\notin L$

$y \not \in L$s(x,y)≤K

$s(x,y)\le K$

$s(x,y) \leq K$d(x,y)≥1/2K

$d(x,y)\ge 1/2^K$

$d(x,y) \geq 1/2^K$d(x,y)<1/2K

$d(x,y)<1/2^K$

$d(x,y) < 1/2^K$ .y∈L

$y\in L$

$y \in L$

둘째, 임의의 문자열로 설정하고 ε > 0을 수정하십시오 . 하자 K = ⌊ 로그 ( 1 / ε ) ⌋ . 하자 L K = { Y : D ( X , Y ) < ε } ; 그런 다음 L K = { y : s ( x , y ) > K } 입니다. 그럼 우리는 쓸 수 있습니다x

$x$

$x$ε>0

$\epsilon >0$

$\varepsilon > 0$K=⌊log(1/ε)⌋

$K=\lfloor \log (1/\epsilon )\rfloor$

$K = \lfloor \log(1/\varepsilon) \rfloor$LK={y:d(x,y)<ε}

$L_K=\{y:d(x,y)<\epsilon \}$

$L_K = \{y : d(x,y) < \varepsilon\}$LK={y:s(x,y)>K}

$L_K=\{y:s(x,y)>K\}$

$L_K = \{y : s(x,y) > K\}$

$$L_K = \{ y : (\forall j=1,\dots,K) |L(T_j) \cap \{x,y\}| \neq 1\}.$$

그러나 decidable이다 입력에 Y , 하나는 제 시뮬레이트 수 K의 에 결정기 X 및 Y를 한정해 각각 어느 허용 둘 또는 모두를 거부하는 경우에 동의. ◻LK

$L_K$

$L_K$y

$y$

$y$K

$K$

$K$x

$x$

$x$y

$y$

$y$ □

$◻$

$~\square$

이제 거의 끝났습니다.

소유가. 보자 연속. 경우 L은 재귀하고 f를 - 1 ( L ) 재귀.f

$f$

$f$L

$L$

$L$f−1(L)

$f^{-1}(L)$

$f^{-1}(L)$

증명. 연속 기능에서 이웃의 사전 이미지는 이웃입니다.

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흥미롭게도,이 공간에서 연속 함수는 균일하게 연속적이라고 생각합니다. 는 연속적이므로 각 점 x 에 대해 각 ε 에 대해 대응하는 δ가 있습니다. 수정 ε을 하고하자 K를 = ⌊ 로그 ( 1 / ε ) ⌋ . 크기가 ε 인 유한 한 개수의 볼이있다 : L ( T 1 ) ∪ L ( T 2 ) ⋯ ∪ L ( T K ) ; 다음이있다f

$f$

$f$x

$x$

$x$ε

$\epsilon$

$\varepsilon$δ

$\delta$

$\delta$ε

$\epsilon$

$\varepsilon$K=⌊log(1/ε)⌋

$K=\lfloor \log (1/\epsilon )\rfloor$

$K = \lfloor \log(1/\varepsilon) \rfloor$ε

$\epsilon$

$\varepsilon$L(T1)∪L(T2)⋯∪L(TK)

$L(T_1)\cup L(T_2)\cdots \cup L(T_K)$

$L(T_1) \cup L(T_2) \dots \cup L(T_K)$; 그런 다음L(T1)∪ ¯ L ( T 2 ) ⋯∪L(TK)등입니다. F이러한 언어 각각 어소LI프리 이미지 언어L ' I 연관된 직경δI. 각xL(T1)¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯∪L(T2)⋯∪L(TK)

$\overline{L(T_1)}\cup L(T_2)\cdots \cup L(T_K)$

$\overline{L(T_1)} \cup L(T_2) \dots \cup L(T_K)$L(T1)∪L(T2)¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯⋯∪L(TK)

$L(T_1)\cup \overline{L(T_2)}\cdots \cup L(T_K)$

$L(T_1) \cup \overline{L(T_2)} \dots \cup L(T_K)$f

$f$

$f$Li

$L_i$

$L_i$L′i

$L_i^{\mathrm{\prime }}$

$L_i^{\prime}$δi

${\delta }_i$

$\delta_i$ , d ( x , y ) ≤ δ ix∈L′i

$x\in L_i^{\mathrm{\prime }}$

$x \in L_i^{\prime}$ . 따라서이 ε 과 관련된균일 한 연속 상수 δ 를 얻기 위해이처럼 많은 δ에 대해 최소값을 취할 수 있습니다.d(x,y)≤δi⟹d(f(x),f(y))≤ε

$d(x,y)\le {\delta }_i⟹d(f(x),f(y))\le \epsilon$

$d(x,y) \leq \delta_i \implies d(f(x),f(y)) \leq \varepsilon$δ

$\delta$

$\delta$δ

$\delta$

$\delta$ε

$\epsilon$

$\varepsilon$

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