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computability

튜링 기계와 관련된 흥미로운 미터법 공간 기계 나타낸다 kkk . 다음 기능을 고려하십시오

이 질문에서 우리는 모든 입력에서 멈추는 Turing 머신만을 고려합니다. 경우

k∈N

다음에 의해

Tk

우리는 그 코드 튜링 기계 나타낸다

k

.

다음 기능을 고려하십시오

s(x,y)=min{k∣|L(Tk)∩{x,y}|=1}

다시 말해, 는 문자열 중 하나를 정확하게 인식하는 가장 작은 Turing machine의 코드입니다이제 다음 맵을 정의 할 수 있습니다x , y 입니다.

s(x,y)

x,y.

d(x,y)={2−s(x,y)if x≠y,0otherwise.

d(x,y)

)가 \ Sigma ^ {*} 에서 메트릭 공간 (실제로는 울트라 메트릭 )을 유도한다는 것을 빠르게 확인할 수 있습니다

Σ∗.

이제

f:Σ∗↦Σ∗

가 모든 재귀 언어 L에 대해 균일하게 연속적인 함수 인 경우,

f−1(L)

도 재귀 .

다시 말해,

f

가 모든

ϵ>0

에 대해

δ>0

되도록 맵으로 하자. 문자열

x,y∈Σ∗

d(x,y)≤δ

다음

d(f(x),f(y))<ϵ.

그런 다음 L 이 재귀 적이 라면

f−1(L)

은 재귀 언어임을 보여 주어야합니다 .

L

이제 이미 언급 문자열을 주어진 튜링 기계가 있다는 것을 표시하도록 포스트 문제를 접근하는 한 방법이다 로 계산

x∈Σ∗

f(x).

나는이 주장을 증명 하고이 문제를 해결하기위한 다른 접근법이 있는지 궁금해하고 있습니까?

힌트, 제안 및 솔루션을 환영합니다!



답변

편집 : 힌트를 제거하고 내 솔루션을 게시했습니다.

여기 내 해결책이 있습니다. 우리는 기준점 선택하는거야 F ( X ) L을 과에서 우주 고려 XF ( X ) 보기의 포인트. 포인트의 모든 "이웃"은 재귀 언어에 해당합니다. 그래서 L 주위 동네 F ( X는 ) 및 주변 일부 이웃있을 것이다 X 그것에 매핑; 이 동네는 재귀 언어입니다.

x

f(x)∈L

x

f(x)

L

f(x)

x

렘마 이 공간에서 언어는 각 문자열의 이웃 인 경우에만 재귀 적입니다.

증거 . 먼저 재귀 언어 수정하고 x L을 보자 . KL 에 대한 결정자의 최소 지수라고 합시다 . 그렇다면 우리가이 경우 Y L는 , s의 ( X , Y ) K 이므로 D ( X , Y ) 1 / 2 K . 따라서 d ( x , y ) < 1 / 2 Ky

L

x∈L

K

L

y∉L

s(x,y)≤K

d(x,y)≥1/2K

d(x,y)<1/2K

.

y∈L

둘째, 임의의 문자열로 설정하고 ε > 0을 수정하십시오 . 하자 K = 로그 ( 1 / ε ) . 하자 L K = { Y : D ( X , Y ) < ε } ; 그런 다음 L K = { y : s ( x , y ) > K } 입니다. 그럼 우리는 쓸 수 있습니다

x

ε>0

K=⌊log⁡(1/ε)⌋

LK={y:d(x,y)<ε}

LK={y:s(x,y)>K}

LK={y:(∀j=1,…,K)|L(Tj)∩{x,y}|≠1}.

그러나 decidable이다 입력에 Y , 하나는 제 시뮬레이트 수 K의 에 결정기 XY를 한정해 각각 어느 허용 둘 또는 모두를 거부하는 경우에 동의.

LK

y

K

x

y

 ◻

이제 거의 끝났습니다.

소유가. 보자 연속. 경우 L은 재귀하고 f를 - 1 ( L ) 재귀.

f

L

f−1(L)

증명. 연속 기능에서 이웃의 사전 이미지는 이웃입니다.


흥미롭게도,이 공간에서 연속 함수는 균일하게 연속적이라고 생각합니다. 는 연속적이므로 각 점 x 에 대해 각 ε 에 대해 대응하는 δ가 있습니다. 수정 ε을 하고하자 K를 = 로그 ( 1 / ε ) . 크기가 ε 인 유한 한 개수의 볼이있다 : L ( T 1 ) L ( T 2 ) L ( T K ) ; 다음이있다

f

x

ε

δ

ε

K=⌊log⁡(1/ε)⌋

ε

L(T1)∪L(T2)⋯∪L(TK)

; 그런 다음L(T1) ¯ L ( T 2 )L(TK)등입니다. F이러한 언어 각각 어소LI프리 이미지 언어L ' I 연관된 직경δI. 각x

L(T1)¯∪L(T2)⋯∪L(TK)

L(T1)∪L(T2)¯⋯∪L(TK)

f

Li

Li′

δi

, d ( x , y ) δ i

x∈Li′

. 따라서이 ε 과 관련된균일 한 연속 상수 δ 를 얻기 위해이처럼 많은 δ에 대해 최소값을 취할 수 있습니다.

d(x,y)≤δi⟹d(f(x),f(y))≤ε

δ

δ

ε

답변