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부울 회로가 있다고 가정하십시오. $C$

C

$C$ 함수를 계산합니다 . 회로가 최대 2 개의 팬인 및 팬 아웃을 갖는 AND, OR 및 NOT 게이트로 구성되어 있다고 가정합니다. $f : {0, 1}^{n} \to {0, 1}$

f : {0, 1}^{n} \to {0, 1}

$f:\{0,1\}^n \to \{0,1\}$

하자 주어진 입력 될. 와 주어지면 단일 비트 위치 에서 와 다른 입력 에 대해 를 평가하고 싶습니다 . 즉, 값 동일하다 그 점을 제외하고 번째 비트는 플립된다. $x \in {0, 1}^{n}$

x \in {0, 1}^{n}

$x \in \{0,1\}^n$ $C$

C

$C$ $x$

x

$x$ $C$

C

$C$ $n$

n

$n$ $x$

x

$x$ $n$

n

$n$ $C (x^{1}), C (x^{2}), \dots, C (x^{n})$

C (x^{1}), C (x^{2}), \dots, C (x^{n})

$C(x^1),C(x^2),\dots,C(x^n)$ $x^{i}$

x^{i}

$x^i$ $x$

x

$x$ $i$

i

$i$

를 독립적으로 평가하는 것보다 더 효율적인 방법이 있습니까? $C$

C

$C$ $n$

n

$n$ 에 시간 $n$

n

$n$ 다른 입력?

취하다 $C$

C

$C$ 포함 $m$

m

$m$ 게이트. 그런 다음 독립적으로 평가 $C$

C

$C$ 모두에 $n$

n

$n$ 입력이 필요합니다 $O (m n)$

O (m n)

$O(mn)$ 시각. 계산하는 방법이 있습니까 $C (x^{1}), C (x^{2}), \dots, C (x^{n})$

C (x^{1}), C (x^{2}), \dots, C (x^{n})

$C(x^1),C(x^2),\dots,C(x^n)$ 에 $o (m n)$

o (m n)

$o(mn)$ 시각?

선택적인 맥락 : 우리가 산술 회로를 가지고 있다면 (이 게이트는 곱셈, 덧셈, 부정) $R$

R

$\mathbb{R}$ 그러면 다음을 계산할 수 있습니다. $n$

n

$n$ 지향성 파생 상품 $\frac{\partial f}{\partial x_{i}} (x)$

\frac{\partial f}{\partial x_{i}} (x)

${\partial f \over \partial x_i}(x)$ 에 $O (m)$

O (m)

$O(m)$ 시각. 기본적으로 그라디언트 계산을 위해 표준 방법을 사용할 수 있습니다 (역 전파 / 연쇄 규칙). $O (m)$

O (m)

$O(m)$ 시각. 해당 기능이 연속적이고 차별화 가능하기 때문에 작동합니다. 부울 회로에 대해 비슷한 것을 할 수 있는지 궁금합니다. 부울 회로는 연속적이고 차별화되지 않으므로 동일한 트릭을 수행 할 수는 없지만 사용할 수있는 다른 영리한 기술이 있습니까? 푸리에의 속임수일까요?

(바리안트 질문 : 팬인 및 팬 아웃이 무한한 부울 게이트가있는 경우 평가하는 것보다 점진적으로 더 잘 수행 할 수 있습니까? $C$

C

$C$ $n$

n

$n$ 타임스?)

답변

나는 그러한 트릭을 찾기 쉽고 / 또는 사소한 만족도 알고리즘을 제공하기 때문에 상당한 이익을 줄 것 같지 않다고 생각합니다. 방법은 다음과 같습니다.

우선, 표면 상으로는 쉬울지라도, 문제는 실제로 회로의 더 일반적인 문제를 해결할 수 있습니다. $C$

C

$C$ 과 $N$

N

$N$ 입력 $x_{0}, \dots, x_{N - 1}$

x_{0}, \dots, x_{N - 1}

$x_0, \ldots, x_{N-1}$ 평가 $C$

C

$C$ 모든 입력에서보다 빠르게 $\tilde{O} (N \cdot | C |)$

\tilde{O} (N \cdot | C |)

$\tilde{O}(N\cdot|C|)$ 시각. 그 이유는 우리가 조정할 수 있기 때문입니다 $C$

C

$C$ 회로로 $C^{'}$

C^{'}

$C'$ 크기의 $| C | + \tilde{O} (N n)$

| C | + \tilde{O} (N n)

$|C| + \tilde{O}(Nn)$ 입력시 $0^{i} 10^{N - 1 - i}$

0^{i} 10^{N - 1 - i}

$0^i10^{N-1-i}$ , 출력 $C (x_{i})$

C (x_{i})

$C(x_{i})$ . 기본적으로, 우리는 단지 작은 조회 테이블을 만듭니다. $0^{i} 10^{N - 1 - i}$

0^{i} 10^{N - 1 - i}

$0^i10^{N-1-i}$ 에 $x_{i}$

x_{i}

$x_i$ 그리고 그것을 안으로 연결하십시오 $C$

C

$C$ .

부울 회로의 배치 평가를위한 사소한 알고리즘을 사용하여 빠른 만족도 알고리즘을 만들 수 있습니다. 다음은 시간에 따라 평가를 수행하는 알고리즘이 있다고 가정하는 간단한 경우의 예입니다. $\tilde{O} (| C |^{2 - ϵ} + (N \cdot | C |)^{1 - ϵ / 2} + N^{2 - ϵ})$

\tilde{O} (| C |^{2 - ϵ} + (N \cdot | C |)^{1 - ϵ / 2} + N^{2 - ϵ})

$\tilde{O}(|C|^{2-\epsilon} + (N\cdot|C|)^{1-\epsilon/2} + N^{2-\epsilon})$ 어떤 상수에 대해서도 $ϵ > 0$

ϵ > 0

$\epsilon > 0$ . 입력 회로 $C$

C

$C$ 확장하여 만족도를 결정할 수 있습니다. $C$

C

$C$ 회로로 $C^{'}$

C^{'}

$C'$ 크기의 $2^{n / 2} \cdot | C |$

2^{n / 2} \cdot | C |

$2^{n/2}\cdot |C|$ 이것은 첫 번째 가능한 모든 선택에 대한 OR입니다. $n / 2$

n / 2

$n/2$ 에 입력 $C$

C

$C$ (다른 입력은 무료로 두십시오). 그런 다음 배치 평가 $C^{'}$

C^{'}

$C'$ 그것의 모든 $2^{n / 2}$

2^{n / 2}

$2^{n/2}$ 입력. 최종 결과는 다음과 같이 만족스러운 과제를 찾는 것입니다. $C^{'}$

C^{'}

$C'$ iff $C$

C

$C$ 만족합니다. 러닝 타임은 $\tilde{O} (2^{(n / 2) (2 - ϵ)} \cdot | C |^{2 - ϵ}) = \tilde{O} (2^{n (1 - ϵ / 2)} \cdot poly (| C |))$

\tilde{O} (2^{(n / 2) (2 - ϵ)} \cdot | C |^{2 - ϵ}) = \tilde{O} (2^{n (1 - ϵ / 2)} \cdot poly (| C |))

$\tilde{O}(2^{(n/2)(2-\epsilon)}\cdot |C|^{2-\epsilon}) = \tilde{O}(2^{n(1-\epsilon/2)}\cdot \textrm{poly}(|C|))$ .

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유사한 입력 배치에서 부울 회로 평가 비트는 플립된다.x∈{0,1}nx∈{0,1}nx \in \{0,1\}^nCCCxxxCCCnnnxxxnnnC(x1),C(x2),…,C(xn)C(x1),C(x2),…,C(xn)C(x^1),C(x^2),\dots,C(x^n)xixix^ixxxiii 를 독립적으로 평가하는

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