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편집 (2011 년 8 월 22 일) :

나는 질문을 더 단순화하고 질문에 현상금을 넣습니다. 아마도이 간단한 질문에 쉽게 대답 할 수 있습니다. 또한 더 이상 관련이없는 원래 질문의 모든 부분을 취소 할 것입니다. (Stasys Jukna와 Ryan O’Donnell에게 원래 질문에 부분적으로 답변 해 주셔서 감사합니다!)

배경:

깊이 k 및 크기 S를 갖는 AC ⁰ 회로가 주어지면 , 새로운 회로가 모든 게이트에 대해 팬 아웃 = 1을 갖도록 깊이 k 및 크기 와 동일한 기능을 계산하는 다른 AC ⁰ 회로 가 존재한다 . 다시 말해, 회로는 트리처럼 보입니다 (입력은 둘 이상의 게이트로 팬 아웃 될 수 있으므로 입력 제외). 이를 수행하는 한 가지 방법은 모든 게이트가 팬 아웃 = 1이 될 때까지 팬 아웃> 1이있는 모든 게이트를 복제하는 것입니다. $O (S^{k})$

O (S^{k})

$O(S^k)$

~~그러나 이것은 AC 변환하는 가장 효율적인 방법입니다 ⁰ AC에 회로를 ⁰ 팬 아웃 1 회로? Ryan O’Donnell의 강의 노트 14 장 에서 다음을 읽었습니다 .~~

C가 패리티를 계산하는 크기 S의 깊이 k 회로라고 가정하십시오. 레벨이 AND 및 OR 게이트를 번갈아 가며, 입력 와이어가 2n 리터럴이고 각 게이트에 팬 아웃 1이있는 경우 (즉, 트리 임) ) – 및 최대의 크기가 증가 . $(2 k S)^{2} \leq O (S^{4})$
$(2 k S)^{2} \leq O (S^{4})$
$(2kS)^2 \leq O(S^4)$

각주 : 실제로, 이것은 약간 까다로운 운동입니다. 크기 만 가져야하는 것이 더 쉽습니다. k를 “일정한”것으로 생각하면 우리의 목적과 거의 동일합니다. $O (S^{k})$
$O (S^{k})$
$O(S^k)$

이것은 크기 S의 깊이 k AC ⁰ 회로 를 취해 팬 아웃 1, 깊이 k 및 크기 를 갖는 AC ⁰ 회로 로 변환 하는 방법이 있다는 것을 의미합니까 ? 그렇다면 어떻게이 작업을 수행하며 이것이 가장 잘 알려진 방법입니까?
$(2 k S)^{2}$

~~$(2 k S)^{2}$~~

~~$(2kS)^2$~~

원래 질문 :

깊이 k와 크기 S를 가진 AC ⁰ 회로가 주어지면 이것을 깊이 k와 게이트 팬 아웃 1 의 AC ⁰ 회로 로 변환하는 가장 잘 알려진 방법은 무엇입니까 (결과 회로의 회로 크기 최소화 측면에서) ? 이것으로 알려진 하한이 있습니까?

더 새롭고 간단한 질문 :

이 질문은 결과 회로가 일정한 깊이라고 주장하지 않는 원래 질문을 완화합니다. 상술 한 바와 같이, 깊이 k, 크기 S를 갖는 AC ⁰ 회로를 크기 를 갖는 회로로 변환 하여 새로운 회로가 모든 게이트에 대해 팬 아웃 = 1이되도록하는 방법이있다. 더 나은 구조가 있습니까? $O (S^{k})$

O (S^{k})

$O(S^k)$

깊이 k와 크기 S 의 AC ⁰ 회로가 주어지면 게이트 팬 아웃 1을 사용하여 깊이 회로로 변환하는 가장 잘 알려진 방법은 무엇입니까 (결과 회로의 회로 크기 최소화 측면에서)?

답변

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$k$

k

$k$ $S$

S

$S$ $A$

A

$A$ $S$

S

$S$ $F$

F

$F$ $O (S^{A})$

O (S^{A})

$O(S^A)$ $A = O (S / \log^{2} S)$

A = O (S / \log^{2} S)

$A=O(S/\log^2 S)$ $S = O (n)$

S = O (n)

$S=O(n)$ $\exp (n / \log n)$

\exp (n / \log n)

$\exp(n/\log n)$

$F$

F

$F$ $F'$

F'

$F′$ $M = O (S^{2 A})$

M = O (S^{2 A})

$M=O(S^{2A})$ $D$

D

$D$ $F'$

F'

$F′$ $D = O (\log M) = O (A \log S)$

D = O (\log M) = O (A \log S)

$D=O(\log M)=O(A\log S)$ $D \leq 1.73 \log_{2} M$

D \leq 1.73 \log_{2} M

$D\leq 1.73\log_2M$ $D e p t h = O (S i z e / \log S i z e)$

D e p t h = O (S i z e / \log S i z e)

$Depth=O(Size/\log Size)$ $A$

A

$A$ $S / \log^{2} S$

S / \log^{2} S

$S/\log^2 S$

$k$

k

$k$ $A = k$

A = k

$A=k$ $A = k - 1$

A = k - 1

$A=k−1$ $k = 3$

k = 3

$k=3$ $S$

S

$S$ $S^{2}$

S^{2}

$S^2$ ? 나는 대답이 “아니오”여야한다고 생각한다 (학생들에게는 흥미로운 연습이 될 수있다). 깊이 3 공식은 CNF의 큰 OR입니다. 문제는 공통적으로 많은 절을 공유하지만 CN-3의 OR을 찾아서 깊이 3 공식을 강요하기 위해 “매우 다르다”는 것입니다.

$S$

S

$S$ $D$

D

$D$ $3 S - 2 n$

3 S - 2 n

$3S−2n$ $2 D$

2 D

$2D$ $O (S^{2})$

O (S^{2})

$O(S^2)$ $O (D \log S)$

O (D \log S)

$O(D\log S)$

$f$

f

$f$ $A C^{0}$

A C^{0}

$AC^0$ $k$

k

$k$ $S$

S

$S$ $f$

f

$f$ $D \leq k - 1 + ⌈ \log_{2} S ⌉$

D \leq k - 1 + ⌈ \log_{2} S ⌉

$D\leq k-1+\lceil\log_2S\rceil$ $D \leq k \log S$

D \leq k \log S

$D\leq k\log S$ $\log S$

\log S

$\log S$

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