내가 감독하는 학생들에게 다음 운동이 전달되었습니다.

평면에 점이 주어지면 , 모든 점 쌍 중 거리가 최소 인 한 쌍의 점을 찾는 알고리즘을 고안하십시오. 알고리즘은 시간에 실행되어야합니다 .o ( n 2 )엔

$엔$

$n$영형 ( n2)

$\mathrm{영형}({엔}^2)$

$o(n^2)$

시간 의 작업을 해결하는 (상대적으로) 간단한 나누기 및 정복 알고리즘이 있습니다.Θ ( n 로그엔)

$\mathrm{\Theta }(엔\mathrm{로그}엔)$

$\Theta(n \log n)$

질문 1 : 최악의 시간 에서 주어진 문제를 정확하게 해결하는 알고리즘이 있습니까?o ( n 로그n )

$\mathcal{영형}(엔\mathrm{로그}엔)$

$\mathcal{o}(n \log n)$

이것이 가능할 것으로 의심되는 것은 몇 가지 이야기에서 본 기억 (결과는 감사합니다)입니다. 그것은 그하게 일정 수 이상의 라인을 따라 무언가 바와 어떤 점 주위면에 배치 될 수있는 점을 반경의 원 안에 와 관련된 두 지점 사이의 최소 거리 나는 이라고 생각 합니다. 점 은 중심에 가 있는 등변 육각형을 형성합니다 (극단 한 경우). p r ∈ R r c = 7 pc ∈ N

$씨\in \mathbb{엔}$

$c \in \mathbb{N}$피

$피$

$p$r ∈ R

$\mathrm{아르\; 자형}\in \mathbb{아르\; 자형}$

$r \in \mathbb{R}$아르 자형

$\mathrm{아르\; 자형}$

$r$c = 7

$씨=7$

$c=7$피

$피$

$p$

이 경우 다음 알고리즘은 단계로 문제를 해결해야 합니다.엔

$엔$

$n$

fun mindist [] | p::[] = INFINITY
|   mindist p1::p1::[] = dist(P[0], P[1])
|   mindist p::r = let m = mindist(r) in
                     min(m, nextNeighbour(p, r, m))
                   end

점에서 단지 일정 수 있기 때문에 이것은 선형 시간 (주장)되어 있습니다 r에는보다 더 멀리 떨어져있을 수있는 m발 p(문 위 가정); 새로운 최소값을 찾기 위해서는 이러한 점만 조사하면됩니다. 물론 캐치가 있습니다. 어떻게 구현합니까 nextNeighbour(선형 시간의 전처리로)?

질문 2 : 점 과 점 의 집합을 보자 . 하자 로를P ∉ R m ∈ R아르 자형

$\mathrm{아르\; 자형}$

$R$p ∉ R

$피\notin \mathrm{아르\; 자형}$

$p \notin R$m ∈ R

$\mathrm{미디엄}\in \mathbb{아르\; 자형}$

$m \in \mathbb{R}$

m ≤ 분 { D 나 S t ( P1, p2) ∣ p1, p2∈ R }

$\mathrm{미디엄}\le 분\{\mathrm{디}\mathrm{나는}\mathrm{에스}\mathrm{티}({피}_1,{피}_2)\mid {피}_1,{피}_2\in \mathrm{아르\; 자형}\}$

$\qquad m \leq \min\{\mathrm{dist}(p_1, p_2) \mid p_1, p_2 \in R\}$

과

아르 자형p , m: = { p‘∣ p‘∈ R ∧ d i s t ( p , p‘) ≤ m }

${\mathrm{아르\; 자형}}_{피,\mathrm{미디엄}}:\; =\{{피}^{‘}\mid {피}^{‘}\in \mathrm{아르\; 자형}\wedge \mathrm{디}\mathrm{나는}\mathrm{에스}\mathrm{티}(피,{피}^{‘})\le \mathrm{미디엄}\}$

$\qquad R_{p,m} := \{p' \mid p' \in R \wedge \mathrm{dist}(p, p') \leq m\}$ .

이 유한 가정합니다 . in (amortised) 시간 에서 최소 거리로 을 찾을 수 있습니까? ( 조사 된 포인트 하나씩 추가하여 을 구성 한다고 가정 할 수 있습니다 .)아르 자형p , m

${\mathrm{아르\; 자형}}_{피,\mathrm{미디엄}}$

$R_{p,m}$피‘∈ Rp , m

${피}^{‘}\in {\mathrm{아르\; 자형}}_{피,\mathrm{미디엄}}$

$p' \in R_{p,m}$피

$피$

$p$O ( 1 )

$\mathcal{영형}(1)$

$\mathcal{O}(1)$아르 자형

$\mathrm{아르\; 자형}$

$R$피

$피$

$p$

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