MA 모델 추정치 :

100 개의 시점을 가진 시리즈를 가정 해 봅시다. 이것은 인터셉트가없는 MA (1) 모델에 의해 특징 지어집니다. 그런 다음 모델은

$$y_t=\varepsilon_t-\theta\varepsilon_{t-1},\quad t=1,2,\cdots,100\quad (1)$$

여기서 오류 용어는 관찰되지 않습니다. 이를 얻기 위해 Box et al. 시계열 분석 : 예측 및 제어 (제 3 판) , 페이지 (228)는 , 오류 용어에 의해 반복적으로 계산하는 것이 좋습니다

$$\varepsilon_t=y_t+\theta\varepsilon_{t-1}$$

따라서 대한 오차항t=1

$t=1$

$t=1$ 은

$$\varepsilon_{1}=y_{1}+\theta\varepsilon_{0}$$
이제 우리는 값을 모르면 이것을 계산할 수 없습니다 θ

$\theta$

$\theta$. 이를 얻기 위해서는 모델의 초기 또는 예비 추정치를 계산해야합니다 (Box et al. 상기 책의 섹션 6.3.2 페이지 202 는

먼저 도시 한 q

$q$

$q$ MA (의 자기 상관 q

$q$

$q$ ) 처리가 0이고 같이 모델의 파라미터로 기록 될 수
θ 1 , θ 2 , ⋯ , θ q 항 에서 ρ 1 , ρ 2 ⋯ , ρ q
에

ρk=−θk+θ1θk+1+θ2θk+2+⋯+θq−kθq1+θ21+θ22+⋯+θ2qk=1,2,⋯,q

$${\rho }_k={\displaystyle \frac{-{\theta }_k+{\theta }_1{\theta }_{k+1}+{\theta }_2{\theta }_{k+2}+\cdots +{\theta }_{q-k}{\theta }_q}{1+{\theta }_1^2+{\theta }_2^2+\cdots +{\theta }_q^2}k=1,2,\cdots ,q}$$

$$\rho_k=\displaystyle\frac{-\theta_{k}+\theta_1\theta_{k+1}+\theta_2\theta_{k+2}+\cdots+\theta_{q-k}\theta_q}{1+\theta_1^2+\theta_2^2+\cdots+\theta_q^2}\quad k=1,2,\cdots, q$$ 대한 위의 표현은 q 미지수로 q 방정식을제공합니다. 의 예비 추정치 θ 의 추정값을 치환함으로써 얻을 수는 r에 K를 위해 ρ K 상기 식에서ρ1,ρ2⋯,ρq

${\rho }_1,{\rho }_2\cdots ,{\rho }_q$

$\rho_1,\rho_2\cdots,\rho_q$θ1,θ2,⋯,θq

${\theta }_1,{\theta }_2,\cdots ,{\theta }_q$

$\theta_1,\theta_2,\cdots,\theta_q$q

$q$

$q$q

$q$

$q$θ

$\theta$

$\theta$rk

$r_k$

$r_k$ρk

${\rho }_k$

$\rho_k$

참고 상기 추정 된 자기 상관 (autocorrelation)이다. 6.3 절-모수에 대한 초기 추정치에 대한 자세한 설명이 나와 있습니다 . 이제 초기 추정치 θ = 0.5를 얻는다고 가정 합니다. 그러면
ε 1 = y 1 + 0.5 ε 0
이제 또 다른 문제는 t 가 1에서 시작 하기 때문에 ε 0 값 이 없으므로 ε 1을 계산할 수 없다는 것 입니다. 다행히 두 가지 방법으로 두 가지를 얻을 수 있습니다.rk

$r_k$

$r_k$θ=0.5

$\theta =0.5$

$\theta=0.5$

$$\varepsilon_{1}=y_{1}+0.5\varepsilon_{0}$$ ε0

${\epsilon }_0$

$\varepsilon_0$t

$t$

$t$ε1

${\epsilon }_1$

$\varepsilon_1$

1. 조건부 가능성
2. 무조건적 가능성

Box et al.에 따르면 섹션 7.1.3 227 페이지에서 n 이 보통이거나 크면 의 값을 근사값으로 0으로 대체 할 수 있습니다 .이 방법은 조건부 가능성입니다. 그렇지 않으면 무조건 가능성이 사용되며, 여기서 ε 0 의 값은 역 예측에 의해 얻어진다 (Box et al. 이 방법을 권장합니다. 역 예측에 대한 자세한 내용은 231 페이지 7.1.4 섹션을 참조하십시오 .ε0

${\epsilon }_0$

$\varepsilon_0$n

$n$

$n$ε0

${\epsilon }_0$

$\varepsilon_0$

의 초기 추정값과 값을 얻은 후에는 오차항 의 재귀 계산을 진행할 수 있습니다. 그런 다음 마지막 단계는 모델의 모수를 추정하는 것입니다 ( 1 ) . 이것은 더 이상 예비 추정치가 아님을 기억하십시오.ε0

${\epsilon }_0$

$\varepsilon_0$(1)

$(1)$

$(1)$

MA 모델은 매개 변수에 대해 비선형이므로 매개 변수 추정 할 때 비선형 추정 절차, 특히 Levenberg-Marquardt 알고리즘을 사용합니다.θ

$\theta$

$\theta$

전반적으로 Box et al. 시계열 분석 : 예측 및 제어 (제 3 판) .

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