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누군가가 면접에서이 질문을하고 공동 분포가 항상 가우시안이라고 답했습니다. 나는 항상 평균과 분산 및 공분산으로 이변 량 가우시안을 작성할 수 있다고 생각했습니다. 두 가우시안의 공동 확률이 가우시안이 아닌 경우가 있는지 궁금합니다.

답변

이변 량 정규 분포는 예외 가 아니라 규칙입니다!

정규 한계를 갖는 “거의 모든”관절 분포가 이변 량 정규 분포 가 아님 을 인식하는 것이 중요합니다 . 즉, 이변 량 법선이 아닌 법선 한계 값을 갖는 관절 분포가 어떻게 든 “병리학 적”이라는 일반적인 관점은 약간 잘못된 것입니다.

다변량 법선은 선형 변환에서의 안정성으로 인해 매우 중요하므로 응용 분야에서 많은 관심을 받고 있습니다.

예

몇 가지 예제로 시작하는 것이 좋습니다. 아래 그림은 여섯 개 이변 량 분포의 히트 맵을 포함 하는 모든 표준 정규 marginals이있는이. 맨 위 줄의 왼쪽과 가운데는 이변 량 법선이고 나머지는 그렇지 않습니다 (명백해야 함). 아래에 더 자세히 설명되어 있습니다.

표준 정규 한계 값을 갖는 이변 량 분포의 예.

copulas의 베어 본

의존성의 속성은 종종 copulas를 사용하여 효율적으로 분석됩니다 . 이변 접합부는 단위 제곱에 대한 확률 분포 단지 공상 이름 로 균일 marginals. $[0, 1]^{2}$

[0, 1]^{2}

$[0,1]^2$

가 이변 량의 copula 라고 가정하십시오 . 그런 다음 위에서 바로 , 및 입니다. $C (u, v)$

C (u, v)

$C(u,v)$ $C (u, v) \geq 0$

C (u, v) \geq 0

$C(u,v) \geq 0$ $C (u, 1) = u$

C (u, 1) = u

$C(u,1) = u$ $C (1, v) = v$

C (1, v) = v

$C(1,v) = v$

이변 량 copula의 간단한 변형으로 미리 지정된 한계 값을 갖는 유클리드 평면에 이변 량 랜덤 변수를 생성 할 수 있습니다 . 하자 및 랜덤 변수 쌍에 대한 한계를 정하는 분포 . 그런 다음 가 이변 량 copula이면

는 한계 값 및 가있는 이변 량 분포 함수입니다 . 이 마지막 사실을 보려면

대해서도 같은 주장이 적용됩니다 . $F_{1}$

F_{1}

$F_1$ $F_{2}$

F_{2}

$F_2$ $(X, Y)$

(X, Y)

$(X,Y)$ $C (u, v)$

C (u, v)

$C(u,v)$

F (x, y) = C (F_{1} (x), F_{2} (y))

$F(x,y) = C(F_1(x), F_2(y))$ $F_{1}$

F_{1}

$F_1$ $F_{2}$

F_{2}

$F_2$

P (X \leq x) = P (X \leq x, Y < \infty) = C (F_{1} (x), F_{2} (\infty)) = C (F_{1} (x), 1) = F_{1} (x) .

$\renewcommand{\Pr}{\mathbb P} \Pr(X \leq x) = \Pr(X \leq x, Y < \infty) = C(F_1(x), F_2(\infty)) = C(F_1(x),1) = F_1(x) \>.$ $F_{2}$

F_{2}

$F_2$

연속 및 경우 Sklar 정리 는 대화를 암시하는 고유성을 암시합니다. 즉, 연속 마진이 , 인 이변 량 분포 가 주어지면 해당하는 copula는 고유합니다 (적절한 범위 공간에서). $F_{1}$

F_{1}

$F_1$ $F_{2}$

F_{2}

$F_2$ $F (x, y)$

F (x, y)

$F(x,y)$ $F_{1}$

F_{1}

$F_1$ $F_{2}$

F_{2}

$F_2$

이변 량 법선은 예외적입니다

Sklar의 정리는 (실질적으로) 이변 량 정규 분포를 생성하는 하나의 copula 만 있다고 말합니다. 이것은, 적절하게 상기라는 가우시안 접합부 의 밀도가
여기서 분자는 및 에서 평가 된 상관 관계 갖는 이변 량 정규 분포입니다. . $[0, 1]^{2}$

[0, 1]^{2}

$[0,1]^2$

c_{ρ} (u, v) := \frac{\partial^{2}}{\partial u \partial v} C_{ρ} (u, v) = \frac{φ_{2, ρ} (Φ^{- 1} (u), Φ^{- 1} (v))}{φ (Φ^{- 1} (u)) φ (Φ^{- 1} (v))},

$c_\rho(u,v) := \frac{\partial^2}{\partial u \partial v} C_\rho(u,v) = \frac{\varphi_{2,\rho}(\Phi^{-1}(u),\Phi^{-1}(v))}{\varphi(\Phi^{-1}(u)) \varphi(\Phi^{-1}(v))} \>,$ $ρ$

ρ

$\rho$ $Φ^{- 1} (u)$

Φ^{- 1} (u)

$\Phi^{-1}(u)$ $Φ^{- 1} (v)$

Φ^{- 1} (v)

$\Phi^{-1}(v)$

그러나, 거기에 많은 다른 copulas의은과 모든 그들이다 정상 marginals와 이변 량 분포를 줄 것이다 없습니다 이전 섹션에 설명 된 변환을 사용하여 이변 량 정상을.

예제에 대한 세부 사항

참고한다면 그 오전이며 , 임의의 밀도와 접합부 의 변화 하에서 표준 정규 marginals와 해당 이변 밀도 는
$C (u, v)$

C (u, v)

$C(u,v)$ $c (u, v)$

c (u, v)

$c(u,v)$ $F (x, y) = C (Φ (x), Φ (y))$

F (x, y) = C (Φ (x), Φ (y))

$F(x,y) = C(\Phi(x),\Phi(y))$

f (x, y) = φ (x) φ (y) c (Φ (x), Φ (y)) .

$f(x,y) = \varphi(x) \varphi(y) c(\Phi(x), \Phi(y)) \> .$

위의 방정식에서 가우스 copula를 적용하여 2 변량 정규 밀도를 회복합니다. 그러나 다른 선택에 대해서는 그렇지 않습니다. $c (u, v)$

c (u, v)

$c(u,v)$

그림의 예는 다음과 같이 구성되었습니다 (한 번에 한 열씩 각 행을 이동).

독립 성분을 가진 이변 량 법선.
이변 량 법선 . $ρ = - 0.4$
이 Dilip Sarwate의 답변 에 주어진 예 . 밀도 의 copula 에 의해 쉽게 유도되는 것을 볼 수 있습니다. . $C (u, v)$
매개 변수 Frank copula 에서 생성됩니다 . $θ = 2$
매개 변수 Clayton copula 에서 생성됩니다 . $θ = 1$
매개 변수 Clayton copula의 비대칭 수정으로 생성됩니다 . $θ = 3$

답변

다변량 법선 벡터의 각 요소는 그 자체로 정규 분포되어 있으며 그 평균과 분산을 추론 할 수 있습니다. 그러나 두 개의 구 아시안 랜덤 변수가 함께 정규 분포되어 있다는 것은 사실이 아닙니다. 예를 들면 다음과 같습니다.

편집 : 점 질량 인 임의 변수가 인 정규 분포 변수로 생각할 수 있다는 의견에 동의하여 예제를 변경하고 있습니다. $σ^{2} = 0$

$σ^{2} = 0$

$\sigma^2=0$

하자 및하자 A는 랜덤 변수. 즉, 각각 확률이 입니다. $X \sim N (0, 1)$

X \sim N (0, 1)

$X \sim N(0,1)$ $Y = X \cdot (2 B - 1)$

Y = X \cdot (2 B - 1)

$Y = X \cdot (2B-1)$ $B$

B

$B$ $B e r n o u l l i (1 / 2)$

B e r n o u l l i (1 / 2)

${\rm Bernoulli}(1/2)$ $Y = \pm X$

Y = \pm X

$Y = \pm X$ $1 / 2$

1 / 2

$1/2$

먼저 에 표준 정규 분포가 있음을 보여줍니다 . $Y$

$Y$

$Y$ 으로 총 확률의 법칙 ,

P (Y \leq y) = \frac{1}{2} (P (Y \leq y | B = 1) + P (Y \leq y | B = 0))

$P(Y \leq y) = \frac{1}{2} \Big( P(Y \leq y | B = 1) + P(Y \leq y | B = 0) \Big)$

다음,

P (Y \leq y | B = 0) = P (- X \leq y) = 1 - P (X \leq - y) = 1 - Φ (- y) = Φ (y)

$P(Y \leq y | B = 0) = P(-X \leq y) = 1-P(X \leq -y) = 1-\Phi(-y) = \Phi(y)$

여기서 는 표준 일반 CDF 입니다. 비슷하게, $Φ$

Φ

$\Phi$

P (Y \leq y | B = 1) = P (X \leq y) = Φ (y)

$P(Y \leq y | B = 1) = P(X \leq y) = \Phi(y)$

따라서,

P (Y \leq y) = \frac{1}{2} (Φ (y) + Φ (y)) = Φ (y)

$P(Y \leq y) = \frac{1}{2} \Big( \Phi(y) + \Phi(y) \Big) = \Phi(y)$

따라서 의 CDF 는 이므로 입니다. $Y$

Y

$Y$ $Φ (\cdot)$

Φ (\cdot)

$\Phi(\cdot)$ $Y \sim N (0, 1)$

Y \sim N (0, 1)

$Y \sim N(0,1)$

이제 우리는 가 공동으로 정규 분포되지 않음 을 보여줍니다 . $X, Y$

$X, Y$

$X,Y$ @cardinal이 지적했듯이, 다변량 법선의 한 특성은 요소의 모든 선형 조합이 정규 분포한다는 것입니다. 에는이 속성이 없습니다. $X, Y$

X, Y

$X,Y$

Y + X = {\begin{cases} 2 X & if B = 1 \\ 0 & if B = 0. \end{cases}

$Y+X = \begin{cases} 2X &\mbox{if } B = 1 \\ 0 & \mbox{if } B = 0. \end{cases}$

따라서 는 랜덤 변수와 0의 점 질량 의 혼합물 이므로 정규 분포를 사용할 수 없습니다. $Y + X$

Y + X

$Y+X$ $50 / 50$

50 / 50

$50/50$ $N (0, 4)$

N (0, 4)

$N(0,4)$

답변

다음 게시물에는 주요 아이디어를 제공하고 시작하기위한 증명 개요 가 포함되어 있습니다 .

하자 두 개의 독립적 인 가우시안 랜덤 변수 일 및하자 수
$z = (Z_{1}, Z_{2})$

z = (Z_{1}, Z_{2})

$z = (Z_1, Z_2)$ $x = (X_{1}, X_{2})$

x = (X_{1}, X_{2})

$x = (X_1, X_2)$

x = (\begin{matrix} X_{1} \\ X_{2} \end{matrix}) = (\begin{matrix} α_{11} Z_{1} + α_{12} Z_{2} \\ α_{21} Z_{1} + α_{22} Z_{2} \end{matrix}) = (\begin{matrix} α_{11} & α_{12} \\ α_{21} & α_{22} \end{matrix}) (\begin{matrix} Z_{1} \\ Z_{2} \end{matrix}) = A z .

$x = \begin{pmatrix} X_1 \\ X_2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \alpha_{11} Z_1 + \alpha_{12} Z_2\\ \alpha_{21} Z_1 + \alpha_{22} Z_2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \alpha_{11} & \alpha_{12}\\ \alpha_{21} & \alpha_{22} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} Z_1 \\ Z_2 \end{pmatrix} = A z.$

각 이지만 둘 다 동일한 독립 r.vs의 선형 조합이므로 공동으로 의존합니다. $X_{i} \sim N (μ_{i}, σ_{i}^{2})$

X_{i} \sim N (μ_{i}, σ_{i}^{2})

$X_i \sim N(\mu_i, \sigma_i^2)$

정의
r.vs 쌍은 독립 정규 r.vs 의 선형 조합 로 쓸 수있는 경우 이변 량 정규 분포라고합니다 . $x = (X_{1}, X_{2})$

x = (X_{1}, X_{2})

$x = (X_1, X_2)$ $x = A z$

x = A z

$x = Az$ $z = (Z_{1}, Z_{2})$

z = (Z_{1}, Z_{2})

$z = (Z_1, Z_2)$

보조 정리
하면 이변 량 가우시안 후 그 임의의 다른 선형 조합들은 다시 정상 랜덤 변수이다. $x = (X_{1}, X_{2})$

x = (X_{1}, X_{2})

$x = (X_1, X_2)$

증거 . 사소한, 다른 사람을 화나게하지 않기 위해 건너 ped

속성 가 서로 관련이
없으면 독립적이며 그 반대도 마찬가지입니다. $X_{1}, X_{2}$

X_{1}, X_{2}

$X_1, X_2$

분포 $X_{1} | X_{2}$

$X_{1} | X_{2}$

$X_1 | X_2$

가정 이전 만의 그들이 긍정적 인 변화가 제로가 단순에 대한 의미 가정하자 같은 가우스 r.vs 있습니다. $X_{1}, X_{2}$

X_{1}, X_{2}

$X_1, X_2$

가 에 의해 확장 된 부분 공간 인 경우 및 입니다. $S$

S

$\mathbf S$ $X_{2}$

X_{2}

$X_2$ $X_{1}^{S} = \frac{ρ σ_{X_{1}}}{σ_{X_{2}}} X_{2}$

X_{1}^{S} = \frac{ρ σ_{X_{1}}}{σ_{X_{2}}} X_{2}

$X_1^{\mathbf S} = \frac{\rho \sigma_{X_1}}{\sigma_{X_2}} X_2$ $X_{1}^{S^{⊥}} = X_{1} - X_{1}^{S}$

X_{1}^{S^{⊥}} = X_{1} - X_{1}^{S}

$X_1^{\mathbf S^\perp} = X_1 - X_1^{\mathbf S}$

$X_{1}$

X_{1}

$X_1$ 과 는 선형 조합 이므로 도 동일합니다. 그것들은 공동 가우시안이고 상관되지 않으며 (증명) 독립적입니다. $X_{2}$

X_{2}

$X_2$ $z$

z

$z$ $X_{2}, X_{1}^{S^{⊥}}$

X_{2}, X_{1}^{S^{⊥}}

$X_2, X_1^{\mathbf S^\perp}$

분해

는

X_{1} = X_{1}^{S} + X_{1}^{S^{⊥}}

$X_1 = X_1^{\mathbf S} + X_1^{\mathbf S^\perp}$ $E [X_{1} | X_{2}] = \frac{ρ σ_{X_{1}}}{σ_{X_{2}}} X_{2} = X_{1}^{S}$

E [X_{1} | X_{2}] = \frac{ρ σ_{X_{1}}}{σ_{X_{2}}} X_{2} = X_{1}^{S}

$\mathbf{E}[X_1 | X_2] = \frac{\rho \sigma_{X_1}}{\sigma_{X_2}} X_2 = X_1^{\mathbf S}$

\begin{aligned} V [X_{1} | X_{2}] & = V [X_{1}^{S^{⊥}}] \\ = E {[X_{1} - \frac{ρ σ_{X_{1}}}{σ_{X_{2}}} X_{2}]}^{2} \\ = (1 - ρ)^{2} σ_{X_{1}}^{2} . \end{aligned}

$\begin{split} \mathbf{V}[X_1 | X_2] &= \mathbf{V}[X_1^{\mathbf S^\perp}] \\ &= \mathbf{E} \left[ X_1 - \frac{\rho \sigma_{X_1}}{\sigma_{X_2}} X_2 \right]^2 \\ &= (1 - \rho)^2 \sigma^2_{X_1}. \end{split}$

그런 다음

X_{1} | X_{2} \sim N (X_{1}^{S}, (1 - ρ)^{2} σ_{X_{1}}^{2}) .

$X_1 | X_2 \sim N\left( X_1^{\mathbf S}, (1 - \rho)^2 \sigma^2_{X_1} \right).$

두 개의 일 변량 가우스 랜덤 변수 는 조건부 와 도 가우시안입니다. $X, Y$

X, Y

$X, Y$ $X | Y$

X | Y

$X | Y$ $Y | X$

Y | X

$Y|X$

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