나는 거의 같은 질문을 가지고 있습니다 :
Bernoulli 랜덤 변수의 합을 효율적으로 모델링 할 수 있습니까?

그러나 설정은 매우 다릅니다.

1. S=∑i=1,NXi

   $S=\sum _{i=1,N}{X}_i$

   $S=\sum_{i=1,N}{X_i}$ , , ~ 20, ~ 0.1P(Xi=1)=pi

   $P(X_i=1)=p_i$

   $P(X_{i}=1)=p_i$N

   $N$

   $N$pi

   $p_i$

   $p_i$

2. Bernoulli 랜덤 변수의 결과에 대한 데이터가 있습니다 : ,Xi,j

   $X_{i,j}$

   $X_{i,j}$Sj=∑i=1,NXi,j

   $S_j=\sum _{i=1,N}{X}_{i,j}$

   $S_j=\sum_{i=1,N}{X_{i,j}}$

3. 최대 우도 추정값을 사용 하여 를 추정하고 얻는 다면 가 훨씬 큽니다. 다른 기준에 따라 예상됩니다 :pi

   $p_i$

   $p_i$p^MLEi

   ${\hat{p}}_i^{MLE}$

   $\hat p^{MLE}_i$P^{S=3}(p^MLEi)

   $\hat{P}\{S=3\}({\hat{p}}_i^{MLE})$

   $\hat P\{S=3\} (\hat p^{MLE}_i)$P^{S=3}(p^MLEi)−P^expected{S=3}≈0.05

   $\hat{P}\{S=3\}({\hat{p}}_i^{MLE})-{\hat{P}}^{expected}\{S=3\}\approx 0.05$

   $\hat P\{S=3\} (\hat p^{MLE}_i) - \hat P^{expected} \{S=3\}\approx 0.05$

4. 따라서 및 는 독립적으로 취급 될 수 없습니다 (의존성이 적음).Xi

   $X_i$

   $X_{i}$Xj

   $X_j$

   $X_{j}$ (j>k)

   $(j>k)$

   $(j>k)$

5. 이와 같은 몇몇 제약을가있다 : 및 (알려진)의 추정에 도움이되는 .pi+1≥pi

   $p_{i+1}\ge p_i$

   $p_{i+1} \ge p_i$∑s≤2P^{S=s}=A

   $\sum _{s\le 2}\hat{P}\{S=s\}=A$

   $\sum_{s \le 2}\hat P\{S=s\}=A$P{S}

   $P\{S\}$

   $P\{S\}$

이 경우 Bernoulli 랜덤 변수의 합을 어떻게 모형화 할 수 있습니까?

과제를 해결하는 데 어떤 문헌이 도움이 될 수 있습니까?

업데이트

몇 가지 추가 아이디어가 있습니다.

(1) 사이의 미지의 의존성이 1 회 이상 연속 성공한 후에 시작 한다고 가정 할 수 있습니다. 따라서 이면 및 입니다.Xi

$X_i$

${X_i}$∑i=1,KXi>0

$\sum _{i=1,K}{X}_i>0$

$\sum_{i=1,K}{X_i} > 0$pK+1→p′K+1

$p_{K+1}\to p_{K+1}^{\prime }$

$p_{K+1} \to p'_{K+1}$p′K+1<pK+1

$p_{K+1}^{\prime }<p_{K+1}$

$p'_{K+1} < p_{K+1}$

(2) MLE를 사용하려면 가장 의심스러운 모델이 필요합니다. 변형은 다음과 같습니다.

P{X1,...,Xk}=(1−p1)...(1−pk)

$P\{X_1,...,X_k\}=(1-p_1)...(1-p_k)$

$P\{X_1,...,X_k\}= (1-p_1) ... (1-p_k)$모든 k 대해
경우 경우 및 이고 모든 k에 대해 .∑i=1,kXi=0

$\sum _{i=1,k}{X}_i=0$

$\sum_{i=1,k}{X_i} = 0$P{X1,...,Xk,Xk+1,...,XN}=(1−p1)...pkP′{Xk+1,...,XN}

$P\{X_1,...,X_k,X_{k+1},...,X_N\}=(1-p_1)...p_k{P}^{\prime }\{X_{k+1},...,X_N\}$

$P\{X_1,...,X_k,X_{k+1},...,X_N\}= (1-p_1) ... p_k P'\{X_{k+1},...,X_N\}$∑i=1,k−1Xi=0

$\sum _{i=1,k-1}{X}_i=0$

$\sum_{i=1,k-1}{X_i} = 0$Xk=1

$X_k=1$

$X_k = 1$P′{Xk+1=1,Xk+2=1,...,XN=1}≤pk+1pk+2...pN

$P^{\prime }\{X_{k+1}=1,X_{k+2}=1,...,X_N=1\}\le p_{k+1}{p}_{k+2}...p_N$

$P'\{X_{k+1}=1,X_{k+2}=1,...,X_N=1\} \le p_{k+1} p_{k+2} ... p_N$

우리에만 관심이 있기 때문에 (3) 우리가 설정할 수있는 ( 꼬리에서 N- (k + 1) +1 소환에 대한 성공 확률) 그리고 매개 변수화P{S}

$P\{S\}$

$P\{S\}$P′{Xk+1,...,XN}≈P′′{∑i=1,kXi=s′;N−(k+1)+1=l}

$P^{\prime }\{X_{k+1},...,X_N\}\approx P^{″}\{\sum _{i=1,k}{X}_i=s^{\prime };N-(k+1)+1=l\}$

$P'\{X_{k+1},...,X_N\} \approx P''\{\sum_{i=1,k}{X_i}=s' ; N-(k+1)+1=l\}$∑i=k+1,NXi

$\sum _{i=k+1,N}{X}_i$

$\sum_{i=k+1,N}{X_i}$P′′{∑i=k,NXi=s′;N−k+1=l}=ps′,l

$P^{″}\{\sum _{i=k,N}{X}_i=s^{\prime };N-k+1=l\}=p_{s^{\prime },l}$

$P''\{\sum_{i=k,N}{X_i}=s' ; N-k+1=l\}= p_{s',l}$

(4) 매개 변수 및 따라 모델에 MLE을 사용하십시오 와 에 대한 (및 )과 다른 제약을 네이티브 .p1,...,pN

$p_1,...,p_N$

$p_1,...,p_N$p0,1,p1,1;p0,2,p1,2,p2,2;...

$p_{0,1},p_{1,1};p_{0,2},p_{1,2},p_{2,2};...$

$p_{0,1}, p_{1,1}; p_{0,2}, p_{1,2}, p_{2,2};...$ps′,l=0

$p_{s^{\prime },l}=0$

$p_{s',l}=0$s′≥6

$s^{\prime }\ge 6$

$s' \ge 6$l

$l$

$l$

이 계획으로 모든 것이 괜찮습니까?

업데이트 2

포아송 분포 (파란색)와 비교 한 경험적 분포 (빨간색) 의 일부 예 (푸 아송 평균은 2.22 및 2.45, 표본 크기는 332 및 259) :P{S}

$P\{S\}$

$P\{S\}$

포아송 평균 2.28 및 2.51 (샘플 크기는 303 및 249) 인 샘플 (A1, A2)의 경우 :

결합 된 samlpe A1 + A2 (샘플 크기는 552) :

Poisson에 대한 일부 수정이 가장 좋은 모델이어야합니다 :).

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답변