들면 모든 번호 평균이
함으로써, 분산 주어진다

적용 중 주어진 숫자 집합에
대해 평균 이라는 박람회의 편의를 위해 취 합니다.
y 1 , y 2 , … , y N ˉ y = 1N

$N$

$N$y1,y2,…,yN

$y_1,y_2,\dots ,y_N$

$y_1,y_2, \ldots, y_N$ σ 2y¯=1N∑i=1Nyi

${\displaystyle \overline{y}=\frac{1}{N}\sum _{i=1}^N{y}_i}$

$\displaystyle \bar{y} = \frac{1}{N}\sum_{i=1}^N y_i$(1)nx1,x2,…xnˉx=0σ2=1

$$\begin{align} \sigma^2 &= \frac{1}{N-1}\sum_{i=1}^N (y_i-\bar{y})^2\\ &= \frac{1}{N-1}\sum_{i=1}^N \left(y_i^2 - 2y_i\bar{y} + \bar{y}^2\right)\\ &= \frac{1}{N-1}\left[\left(\sum_{i=1}^Ny_i^2\right) - 2N(\bar{y})^2 + N(\bar{y})^2 \right] \\ \sigma^2 &=\frac{1}{N-1}\sum_{i=1}^N \left(y_i^2 - (\bar{y})^2\right) \tag{1} \end{align}$$ (1)

$(1)$

$(1)$n

$n$

$n$x1,x2,…xn

$x_1,x_2,\dots x_n$

$x_1, x_2, \ldots x_n$x¯=0

$\overline{x}=0$

$\bar{x} = 0$

$$\sigma^2 = \frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^n \left(x_i^2-(\bar{x})^2\right) = \frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^n x_i^2$$
이제이 데이터 세트에 새로운 관측 값 을 추가하면 데이터 세트의 새로운 평균은

동안 새 분산은

따라서보다 커야한다xn+1

$x_{n+1}$

$x_{n+1}$

$$\frac{1}{n+1}\sum_{i=1}^{n+1}x_i = \frac{n\bar{x} + x_{n+1}}{n+1} = \frac{x_{n+1}}{n+1}$$

$$\begin{align} \hat{\sigma}^2 &= \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n+1} \left(x_i^2-\frac{x_{n+1}^2}{(n+1)^2}\right)\\ &= \frac{1}{n}\left[\left((n-1)\sigma^2 + x_{n+1}^2\right) - \frac{x_{n+1}^2}{n+1}\right]\\ &= \left.\left.\frac{1}{n}\right[(n-1)\sigma^2 + \frac{n}{n+1}x_{n+1}^2\right]\\ &> \sigma^2 ~ \text{only if}~ x_{n+1}^2 > \frac{n+1}{n}\sigma^2. \end{align}$$ |xn+1|

$|x_{n+1}|$

$|x_{n+1}|$σ1+1n−−−−−√

${\displaystyle \sigma \sqrt{1+\frac{1}{n}}}$

$\displaystyle\sigma\sqrt{1+\frac{1}{n}}$
또는보다 일반적으로 은 이상으로 원래 데이터 세트 의 평균 와 보강 된 데이터 세트가 원래 데이터 세트보다 더 큰 분산을 가지도록 . 새로운 편차가보다 크다고 지적 레이 쿠프의 대답은, 동일하거나보다 작은, 일본어 분산뿐만있어서 참조
미만 이상으로 평균 상이을 정확히 또는 .xn+1

$x_{n+1}$

$x_{n+1}$x¯

$\overline{x}$

$\bar{x}$σ1+1n−−−−−√

${\displaystyle \sigma \sqrt{1+\frac{1}{n}}}$

$\displaystyle\sigma\sqrt{1+\frac{1}{n}}$xn+1

$x_{n+1}$

$x_{n+1}$σ1+1n−−−−−√

${\displaystyle \sigma \sqrt{1+\frac{1}{n}}}$

$\displaystyle\sigma\sqrt{1+\frac{1}{n}}$

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