내가 당신을 오해하지 않는다면, 최소 비용 인수 분해는 다음과 같이 시간으로 계산 될 수 있다고 생각합니다 .O(n2)

$O(n^2)$

각 인덱스 i에 대해 다음과 같이 대한 여러 값 을 계산 합니다. 하자 정수가되도록 정수 최소치 만족이 특정 경우 이이 특성을 가진 가장 큰 이되게하십시오. 그러한 가 존재 하지 않으면 설정 대해 0 값이 있음을 알 수 있습니다.(pℓi,rℓi)

$(p_i^\ell, r_i^\ell)$ℓ=1,2,…

$\ell=1,2,\ldots$p1i≥1

$p_i^1\ge 1$r≥2

$r\ge 2$

$$S[i-rp_i^1+1, i-p_i^1] = S[i-(r-1)p_i^1+1, i].$$ p1i

$p_i^1$r1i

$r_i^1$r

$r$pi

$p_i$Li=0

$L_i=0$(pℓi,rℓi)

$(p_i^\ell,r_i^\ell)$

하자 보다 엄격하게 더 작은 정수 만족 마찬가지로

일부 입니다 . 이전과 마찬가지로 를 고정 가진 최대 값으로 사용하십시오 . 일반적으로 은 보다 엄격하게 큰 숫자 입니다. 그러한 이 입니다.p2i

$p_i^2$(r1i−1)p1i

$(r_i^1-1)p_i^1$

$$S[i-r_i^2p_i^2+1, i-p_i^2] = S[i-(r_i^2-1)p_i^2+1, i]$$ r2i≥2

$r_i^2\ge 2$r2i

$r_i^2$p2i

$p_i^2$pℓi

$p_i^\ell$(rℓ−1i−1)pℓ−1i

$(r_i^{\ell-1}-1)p_i^{\ell-1}$pℓi

$p_i^\ell$Li=ℓ−1

$L_i=\ell-1$

각 인덱스 i에 대해 값이 과 함께 기하학적으로 증가 하기 때문에 있습니다. ( 이 존재하는 경우 보다 엄격하게 크지 않고 최소한 보다 큰 것입니다 . 이것은 기하학적 인 증가를 설정합니다. )Li=O(log(i+1))

$L_i=O(\log (i+1))$pℓi

$p_i^\ell$ℓ

$\ell$pℓ+1i

$p_i^{\ell+1}$(rℓi−1)pℓi

$(r_i^\ell-1)p_i^\ell$pℓi/2

$p_i^\ell/2$

이제 모든 값이 우리에게 주어 졌다고 가정 하십시오. 최소 비용은 재발

에 대한 것으로 이해된다 우리가 설정 . 테이블은 시간 있습니다.(pℓi,rℓi)

$(p_i^{\ell },r_i^{\ell })$

$(p_i^\ell,r_i^\ell)$

dp(i,j)=min{dp(i,j−1)+1,minℓ(dp(i,j−rℓjpℓj)+dp(j−rℓjpℓj+1,j−pℓj))}

$$\mathrm{d}\mathrm{p}(i,j)=min\{\mathrm{d}\mathrm{p}(i,j-1)+1,\underset{\ell }{min}(\mathrm{d}\mathrm{p}(i,j-r_j^{\ell }{p}_j^{\ell })+\mathrm{d}\mathrm{p}(j-r_j^{\ell }{p}_j^{\ell }+1,j-p_j^{\ell }))\}$$

$$\mathrm{dp}(i,j) = \min\left\{\mathrm{dp}(i, j-1) + 1, \min_\ell \left(\mathrm{dp}\left(i,j - r_j^\ell p_j^\ell\right) + \mathrm{dp}(j-r_j^\ell p_j^\ell+1,j-p_j^\ell)\right)\right\}$$ i>j

$i>j$

$i>j$dp(i,j)=+∞

$\mathrm{d}\mathrm{p}(i,j)=+\mathrm{\infty }$

$\mathrm{dp}(i,j) = +\infty$O(n2+n∑jLj)

$O(n^2+n\sum _j{L}_j)$

$O(n^2 + n\sum_j L_j)$

우리는 이미 . 그러나 실제로 우리가 전체의 합계를 보면, 더 날카로운 것을 증명할 수 있습니다.∑jLj=O(∑jlog(j+1))=Θ(nlogn)

$\sum_j L_j = O(\sum_j \log (j+1)) = \Theta(n\log n)$

의 반대의 접미사 트리 (즉, 의 접두사 트리)를 고려하십시오. 우리는 합계 에 대한 각 기부금을 가장자리에 청구하여 각 가장자리에 최대 한 번 청구됩니다. 각각의 를 하고 쪽으로 이동 하는 가장자리까지 충전 하십시오 . 여기서 는 해당하는 접두사 트리의 잎 이고 nca는 가장 가까운 공통 조상을 나타냅니다.T(S←)

$T(\overleftarrow{S})$S

$S$∑iLi

$\sum_i L_i$T(S←)

$T(\overleftarrow{S})$pji

$p_i^j$nca(v(i),v(i−pji))

$\mathrm{nca}(v(i), v(i-p_i^j))$v(i−pji)

$v(i-p_i^j)$v(i)

$v(i)$S[1..i]

$S[1..i]$

이것은 입니다. 값 은 접미사 트리의 순회를 통해 시간 에서 계산할 수 있지만 관심이있는 사람은 나중에 편집 할 세부 사항을 남겨 둡니다.O(∑iLi)=O(n)

$O(\sum_i L_i)=O(n)$(pji,rji)

$(p_i^j,r_i^j)$O(n+∑iLi)

$O(n+\sum_i L_i)$

이것이 의미가 있는지 알려주십시오.

답변

next_end_bracket = n
for i in [0:n]: # main loop

    break if i >= length(S) # due to compression
    w = (next_end_bracket - i)# width to analyse

    for j in [w/2:0:-1]: # period loop, look for largest period first
        for r in [1:n]: # number of repetition loop
            if i+j*(r+1) > w:
                break r loop

            for k in [0:j-i]:
                # compare term to term and break at first difference
                if S[i+k] != S[i+r*j+k]:
                    break r loop

        if r > 1:
            # compress
            replace S[i:i+j*(r+1)] with ( S[i:i+j] )^r
            # don't forget to record end bracket...
            # and reduce w for the i-run, carrying on the j-loop for eventual smaller periods.
            w = j-i