이 질문은 모멘트 생성 함수 ( mgf ) 에 대한 몇 가지 사실을 수집 할 수있는 좋은 기회를 제공합니다 .

아래 답변에서 우리는 다음을 수행합니다.

1. mgf가 하나 이상의 (엄격한) 양수 값
   과 하나의 음수 값에 대해 유한 한 경우 모든 양수 모멘트 가 유한함을 나타냅니다 (비 적분 모멘트 포함).X
   $X$

   $X$

2. 위의 첫 번째 항목의 조건 이 지수 적으로 제한된 꼬리를 갖는 의 분포와 동일하다는 것을 증명하십시오 . 다시 말해, 의 꼬리는 적어도 지수 랜덤 변수 의 꼬리 만큼 빠릅니다 (최대 상수).X
   $X$

   $X$X

   $X$

   $X$Z

   $Z$

   $Z$

3. 항목 1의 조건을 만족하는 경우 mgf로 분포의 특성을 간단히 설명하십시오.
4. 직관에 도움이되는 일부 예와 반례를 살펴보고 특히 mgf의 유한 부족에 대해 지나치게 중요하지 않아야한다는 것을 보여줍니다.

이 답변은 매우 길어서 미리 사과드립니다. 예를 들어 블로그 게시물 또는 다른 곳에서이 방법을 사용하는 것이 더 좋으면 의견에 자유롭게 의견을 보내주십시오.

mgf는 순간에 대해 무엇을 말합니까?

확률 변수의 MGF는 로 정의된다 . 참고 는 항상 존재 가 나오지 측정 함수의 적분이기 때문에한다. 그러나 유한 하지 않을 수 있습니다
. 이 경우 입니다 모든 후, (오른쪽 장소에서) 유한 (반드시 정수), 절대 순간 그래서, 또한 (그리고, 있다 한정된). 이것이 다음 제안의 주제입니다.m ( t ) = E e t X m ( t ) p > 0 E | X | p < ∞ E X pX∼F

$X\sim F$

$X \sim F$m(t)=EetX

$m(t)=\mathbb{E}{e}^{tX}$

$m(t) = \mathbb E e^{tX}$m(t)

$m(t)$

$m(t)$ p>0

$p>0$

$p > 0$E|X|p<∞

$\mathbb{E}|X{|}^p<\mathrm{\infty }$

$\mathbb E |X|^p < \infty$EXp

$\mathbb{E}{X}^p$

$\mathbb E X^p$

제안 : 및 이있는 경우 및 이면 의 모든 차수의 순간이 존재하며 유한합니다.tn<0

$t_n<0$

$\newcommand{\tn}{t_{n}}\newcommand{\tp}{t_{p}}\tn < 0$tp>0

$t_p>0$

$\tp > 0$m(tn)<∞

$m(t_n)<\mathrm{\infty }$

$m(\tn) < \infty$Xm(tp)<∞

$m(t_p)<\mathrm{\infty }$

$m(\tp) < \infty$X

$X$

$X$

증거에 들어가기 전에 두 가지 유용한 정리가 있습니다.

Lemma 1 : 그러한 및 가 존재 한다고 가정하십시오 . 그런 다음 에 대해 입니다.
증거 . 이것은 볼록성과 적분의 단 조성으로 이어집니다. 그러한 , 와 같은 있습니다. 그러나

따라서 적분의 의해 .tn

$t_n$

$\tn$tp

$t_p$

$\tp$t0∈[tn,tp]

$t_0\in [t_n,t_p]$

$t_0 \in [\tn,\tp]$e x t 0 θ ∈ [ 0 , 1 ] t 0 = θ t n + ( 1 − θ ) t p e t 0 X = e θ t n X + ( 1 − θm(t0)<∞

$m(t_0)<\mathrm{\infty }$

$m(t_0) < \infty$
ex

$e^x$

$e^x$t0

$t_0$

$t_0$θ∈[0,1]

$\theta \in [0,1]$

$\theta \in [0,1]$t0=θtn+(1−θ)tp

$t_0=\theta t_n+(1-\theta )t_p$

$t_0 = \theta \tn + (1-\theta) \tp$E e t 0 X ≤ θ E e t n X + ( 1 − θ ) E e t p X < ∞

$$e^{t_0 X} = e^{\theta \tn X + (1-\theta) \tp X} \leq \theta e^{\tn X} + (1-\theta) e^{\tp X} \>.$$ E의 전자티0엑스≤ θ E e티엔엑스+ ( 1 − θ ) E e티피엑스< ∞

$\mathbb{이자형}{\mathrm{이자형}}^{{티}_0\mathrm{엑스}}\le \theta \mathbb{이자형}{\mathrm{이자형}}^{{티}_{엔}\mathrm{엑스}}+(1-\theta )\mathbb{이자형}{\mathrm{이자형}}^{{티}_{피}\mathrm{엑스}}<\mathrm{\infty }$

$\mathbb E e^{t_0 X} \leq \theta \mathbb E e^{\tn X} + (1-\theta) \mathbb E e^{\tp X} < \infty$

따라서 mgf가 두 개의 개별 지점에서 유한 한 경우 해당 지점 사이의 간격에있는 모든 값에 대해 유한합니다.

Lemma 2 ( 공백 중첩엘피

${엘}_{피}$

$L_p$ ) : 의 경우, 이면 입니다.
증명 :이 답변과 관련 의견 에는 두 가지 접근 방식이 있습니다.E | X | p < ∞ E | X | q < ∞0 ≤ q≤ p

$0\le 큐\le 피$

$0 \leq q \leq p$전자 | 엑스|피< ∞

$\mathbb{이자형}|\mathrm{엑스}{|}^{피}<\mathrm{\infty }$

$\mathbb E |X|^p < \infty$전자 | 엑스|큐< ∞

$\mathbb{이자형}|\mathrm{엑스}{|}^{큐}<\mathrm{\infty }$

$\mathbb E |X|^q < \infty$

이것은 우리에게 제안의 증거를 계속할만큼 충분합니다.

제안의 증거 . 만약 및 다음 복용 제안에서 언급 한 바와 같이 존재하는 , 우리는 제 표제어가 알고 및 . 그러나

및 우측은 어떤 고정 된에 대해, 특히, 따라서 음이 아닌 측면으로 구성된다
이제, 합니다. 적분의 단 조성은 산출 합니다. 따라서 모두t p > 0 t 0 = 최소 ( − t n , t p ) > 0 m ( − t 0 ) < ∞ m ( t 0 ) < ∞ e − t 0 X + e t 0 X = 2 ∞ ∑ n = 0 t 2 n 0 X 2 n티엔< 0

${티}_{엔}<0$

$\tn < 0$티피> 0

${티}_{피}>0$

$\tp > 0$티0= 분 ( − t엔, t피) > 0

${티}_0=분(-{티}_{엔},{티}_{피})>0$

$t_0 = \min(-\tn,\tp) > 0$m ( − t0) < ∞

$엠(-{티}_0)<\mathrm{\infty }$

$m(-t_0) < \infty$m ( 톤0) < ∞

$엠({티}_0)<\mathrm{\infty }$

$m(t_0) < \infty$k e - t 0 X + e t 0 X ≥ 2 t 2 k 0 X 2 k / ( 2 k ) !

$$e^{-t_0 X} + e^{t_0 X} = 2 \sum_{n=0}^\infty \frac{t_0^{2n} X^{2n}}{(2n)!} \>,$$ k

$k$

$k$
E e - t 0 X + E e t 0 X < ∞ E X 2 k < ∞ X

$$e^{-t_0 X} + e^{t_0 X} \geq 2 t_0^{2k} X^{2k}/(2k)! \>.$$ Ee−t0X+Eet0X<∞

$\mathbb{E}{e}^{-t_{0}X}+\mathbb{E}{e}^{t_{0}X}<\mathrm{\infty }$

$\mathbb E e^{-t_0 X} + \mathbb E e^{t_0 X} < \infty$EX2k<∞

$\mathbb{E}{X}^{2k}<\mathrm{\infty }$

$\mathbb E X^{2k} < \infty$ 순간 조차도 유한합니다. Lemma 2는 즉시 "갭을 메우고" 모든 순간이 유한해야 한다는 결론을 내릴 수 있습니다.X

$X$

$X$

결과

손 질문에 대한 결말은 경우이다 어떤 의 순간의 무한 또는 존재하지 않는, 우리가 할 수있는 즉시
MGF가 원점을 포함하는 개방 간격으로 유한 아니라고 결론 지었다. (이것은 반대 되는 명제에 대한 진술입니다.)X

$X$

$X$

따라서, 위의 제안 은 mgf를 기준으로 의 순간에 대해 무언가를 말하기 위해 "올바른"조건을 제공합니다 .X

$X$

$X$

지수 적으로 제한된 꼬리와 mgf

제안 : mgf 는 의 꼬리 가 기하 급수적으로 묶인 경우에만
원점을 포함 하는 열린 간격 에서 유한합니다 예 : 일부 및 입니다 .( t의 N , t의 P ) F P ( | X | > X ) ≤ C E - t 0 X C > 0 t 0 > 0m(t)

$m(t)$

$m(t)$(tn,tp)

$(t_n,t_p)$

$(\tn,\tp)$F

$F$

$F$P(|X|>x)≤Ce−t0x

$\mathbb{P}(|X|>x)\le C{e}^{-t_{0}x}$

$\mathbb P( |X| > x) \leq C e^{-t_0 x}$C>0

$C>0$

$C > 0$t0>0

$t_0>0$

$t_0 > 0$

증거 . 오른쪽 꼬리를 따로 다룰 것입니다. 왼쪽 꼬리는 완전히 유사하게 처리됩니다.

m ( t 0 ) < ∞ t 0 > 0 F C > 0 b > 0 P ( X > x ) ≤ C e − b x(⇒)

$(\Rightarrow )$

$(\Rightarrow)$ 어떤 대해 라고 가정하십시오 . 그런 다음 의 오른쪽 꼬리 는 기하 급수적으로 묶입니다 . 즉, 와 같이
및 이 존재합니다
이를 확인하려면 Markov의 부등식에 의해
대해
가라 및 증거의 방향을 완료.m(t0)<∞

$m(t_0)<\mathrm{\infty }$

$m(t_0) < \infty$t0>0

$t_0>0$

$t_0 > 0$F

$F$

$F$C>0

$C>0$

$C > 0$b>0

$b>0$

$b > 0$t > 0 P ( X > x ) = P ( e t X > e t x ) ≤ e − t x E e t X = m ( t ) e − t x

$$\mathbb P(X > x) \leq C e^{-b x} \>.$$ t>0

$t>0$

$t > 0$C = m ( t 0 ) b = t 0

$$\mathbb P(X > x) = \mathbb P(e^{tX} > e^{tx}) \leq e^{-tx} \mathbb E e^{t X} = m(t) e^{-t x} \>.$$ C=m(t0)

$C=m(t_0)$

$C = m(t_0)$b=t0

$b=t_0$

$b = t_0$

C > 0 t 0 > 0 P ( X > x ) ≤ C e − t 0 x t > 0 E e t X = ∫ ∞ 0 P ( e t X > y )(⇐)

$(\Leftarrow )$

$(\Leftarrow)$ 와 같이
및 이 있다고 가정합니다 . 그런 다음 경우

여기서 첫 번째 평등 은 음이 아닌 임의 변수의 기대치에 대한 표준 사실 . 어떤 선택 되도록 ; 그런 다음 오른쪽의 적분은 유한합니다.C>0

$C>0$

$C >0$t0>0

$t_0>0$

$t_0 > 0$P(X>x)≤Ce−t0x

$\mathbb{P}(X>x)\le C{e}^{-t_{0}x}$

$\mathbb P(X > x) \leq C e^{-t_0 x}$t>0

$t>0$

$t > 0$t 0 < t < t 0

$$\mathbb E e^{t X} = \int_0^\infty \mathbb P( e^{t X} > y)\,\mathrm dy \leq 1 + \int_1^\infty \mathbb P( e^{t X} > y)\,\mathrm dy \leq 1 + \int_1^\infty C y^{-t_0/t} \, \mathrm dy \>,$$ t

$t$

$t$0<t<t0

$0<t<t_0$

$0 < t < t_0$

이것으로 증명이 완료됩니다.

mgf가 주어진 분포의 고유성에 대한 참고 사항

mgf가 0을 포함하는 열린 구간에서 유한 한 경우 연관된 분포는 해당 모멘트를 특징으로합니다 . 즉 모멘트가 유일한 분포입니다 . 특징적인 기능 에 대한 (상대적으로 간단한) 사실을 가지고 있다면 표준 증거는 짧습니다 . 세부 사항은 대부분의 현대 확률 텍스트 (예 : Billingsley 또는 Durrett)에서 찾을 수 있습니다. 이 답변 에는 몇 가지 관련 사항이 설명 되어 있습니다.μn= EX엔

${\mu }_n=\mathbb{E}{X}^{엔}$

$\mu_n = \mathbb E X^n$

예와 반례

( a ) 로그 정규 분포 : 정규 랜덤 변수 대해 경우 는 로그 정규 입니다. 따라서 은 확률 1입니다. 모든 대해 이기 때문에 이것은 즉시 모든 대해 임을 알려줍니다 . 따라서 mgf는 음이 아닌 반줄에서 유한합니다 . ( NB 우리는 의 음이 아닌 음만 사용 하여이 사실을 설정 했으므로 음이 아닌 임의의 모든 변수 에서 사실입니다 .)엑스

$\mathrm{엑스}$

$X$엑스= 전자와이

$\mathrm{엑스}={\mathrm{이자형}}^{\mathrm{와이}}$

$X = e^Y$와이

$\mathrm{와이}$

$Y$엑스≥ 0

$\mathrm{엑스}\ge 0$

$X \geq 0$이자형− x≤ 1

${\mathrm{이자형}}^{-\mathrm{엑스}}\le 1$

$e^{-x} \leq 1$x ≥ 0

$\mathrm{엑스}\ge 0$

$x \geq 0$m(t)=EetX≤1

$m(t)=\mathbb{E}{e}^{tX}\le 1$

$m(t) = \mathbb E e^{t X} \leq 1$ t<0

$t<0$

$t < 0$(−∞,0]

$(-\mathrm{\infty },0]$

$(-\infty,0]$X

$X$

$X$

그러나 모든 대해 입니다 . 표준 대수 정규 법을 표준 사례로 사용합니다. 만약 , 다음 . 변수를 변경하면

들어 과 충분한 , 우리가 위에서 주어진 경계에 의해. 그러나
임의 대한 및 MGF이 모두 무한대이므로 .m(t)=∞

$m(t)=\mathrm{\infty }$

$m(t) = \infty$ t>0

$t>0$

$t > 0$x>0

$x>0$

$x > 0$ex≥1+x+12x2+16x3

$e^x\ge 1+x+\frac{1}{2}{x}^2+\frac{1}{6}{x}^3$

$e^{x} \geq 1 + x + \frac{1}{2} x^2 + \frac{1}{6} x^3$

$$\mathbb E e^{t X} = (2\pi)^{-1/2} \int_{-\infty}^\infty e^{t e^u - u^2/2} \,\mathrm d u \>.$$ t > 0

$티>0$

$t > 0$유

$유$

$u$t의 전자유− u2/ 2≥t+tu

$티{\mathrm{이자형}}^{유}-{유}^2/2\ge 티+티유$

$t e^u - u^2/2 \geq t+tu$

$$\int_{K}^\infty e^{t + tu} \,\mathrm du = \infty$$ 케이

$\mathrm{케이}$

$K$t > 0

$티>0$

$t > 0$

반면, 로그 정규 분포의 모든 순간은 유한합니다. 따라서, 위의 제안의 결론에는 약 0의 간격으로 mgf가 존재 하지 않아도됩니다 .

( b ) 대칭 대수 정규화 : 우리는 대수 정규 분포를 "대칭"함으로써 더 극단적 인 사례를 얻을 수 있습니다. 밀도 고려 에 대한 되도록

MGF가 한정되어 있다는 이전의 예에 비추어 볼 어렵지 않다 만 에 대해 . 그러나 짝수 순간은 로그 정규의 순간과 동일하며 홀수 순간은 모두 0입니다! 따라서 mgf는 어디에도 존재 하지 않지만 (항상 존재하는 곳은 제외) 모든 주문의 유한 순간을 보장 할 수 있습니다.에프( x )

$\mathrm{에프}(\mathrm{엑스})$

$f(x)$x ∈ R

$\mathrm{엑스}\in \mathbb{아르\; 자형}$

$x \in \mathbb R$

$$f(x) = \frac{1}{2\sqrt{2\pi}|x|} e^{-\frac{1}{2} (\log |x|)^2} \>.$$ t = 0

$티=0$

$t = 0$

( c ) 코시 분포 :이 분포는 또한 모든 대해 무한한 mgf를 갖지만 대해 절대 모멘트 는 유한 하지 않습니다 . MGF 대한 결과가 다음 보낸 대 등

대한 증거 는 유사합니다. (아마도 덜 알려진 것은 Cauchy에 대해 의 모멘트 가 존재한다는 것입니다. 이 답변보기t ≠ 0

$티\ne 0$

$t \neq 0$전자 | 엑스|피

$\mathbb{이자형}|\mathrm{엑스}{|}^{피}$

$\mathbb E|X|^p$p ≥ 1

$피\ge 1$

$p \geq 1$t > 0

$티>0$

$t > 0$이자형엑스≥ x삼/ 6

${\mathrm{이자형}}^{\mathrm{엑스}}\ge {\mathrm{엑스}}^{\mathrm{삼}}/6$

$e^x \geq x^3 / 6$x > 0

$\mathrm{엑스}>0$

$x > 0$

$$\mathbb E e^{tX} \geq \int_1^\infty \frac{t^3 x^3}{6\pi(1+x^2)} \,\mathrm dx \geq \frac{t^3}{12\pi} \int_1^\infty x \,\mathrm dx = \infty \>.$$ t < 0

$티<0$

$t < 0$0 < p < 1

$0<피<1$

$0 < p < 1$ .)

( d ) 반코시 분포 : 가 (표준) 코시 인 경우반 코시 랜덤 변수. 그러면 이전 예제 에서 모든 대해 임을 쉽게 알 수 있습니다 . 그러나 는 대해 유한합니다 . 엑스

$\mathrm{엑스}$

$X$와이= | 엑스|

$\mathrm{와이}=|\mathrm{엑스}|$

$Y = |X|$E Y피= ∞

$\mathbb{이자형}{\mathrm{와이}}^{피}=\mathrm{\infty }$

$\mathbb E Y^p = \infty$p ≥ 1

$피\ge 1$

$p \geq 1$E의 전자t Y

$\mathbb{이자형}{\mathrm{이자형}}^{티\mathrm{와이}}$

$\mathbb E e^{tY}$t ∈ ( − ∞ , 0 ]

$티\in (-\mathrm{\infty },0]$

$t \in (-\infty,0]$

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답변