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유한 평균 및 무한 분산을 갖는 분포에 모멘트 생성 기능이있을 수 있습니까? 유한 평균 및 유한 분산이지만 무한한 더 높은 모멘트를 갖는 분포는 어떻습니까?

답변

이 질문은 모멘트 생성 함수 ( mgf ) 에 대한 몇 가지 사실을 수집 할 수있는 좋은 기회를 제공합니다 .

아래 답변에서 우리는 다음을 수행합니다.

mgf가 하나 이상의 (엄격한) 양수 값
과 하나의 음수 값에 대해 유한 한 경우 모든 양수 모멘트 가 유한함을 나타냅니다 (비 적분 모멘트 포함). $X$
위의 첫 번째 항목의 조건 이 지수 적으로 제한된 꼬리를 갖는 의 분포와 동일하다는 것을 증명하십시오 . 다시 말해, 의 꼬리는 적어도 지수 랜덤 변수 의 꼬리 만큼 빠릅니다 (최대 상수). $X$ $X$ $Z$
항목 1의 조건을 만족하는 경우 mgf로 분포의 특성을 간단히 설명하십시오.
직관에 도움이되는 일부 예와 반례를 살펴보고 특히 mgf의 유한 부족에 대해 지나치게 중요하지 않아야한다는 것을 보여줍니다.

이 답변은 매우 길어서 미리 사과드립니다. 예를 들어 블로그 게시물 또는 다른 곳에서이 방법을 사용하는 것이 더 좋으면 의견에 자유롭게 의견을 보내주십시오.

mgf는 순간에 대해 무엇을 말합니까?

확률 변수의 MGF는 로 정의된다 . 참고 는 항상 존재 가 나오지 측정 함수의 적분이기 때문에한다. 그러나 유한 하지 않을 수 있습니다
. 이 경우 입니다 모든 후, (오른쪽 장소에서) 유한 (반드시 정수), 절대 순간 그래서, 또한 (그리고, 있다 한정된). 이것이 다음 제안의 주제입니다. $X \sim F$

X∼F

$m (t) = E e^{t X}$

m(t)=EetX

$m (t)$

m(t)

$p > 0$

p>0

$E | X |^{p} < \infty$

E|X|p<∞

$E X^{p}$

EXp

제안 : 및 이있는 경우 및 이면 의 모든 차수의 순간이 존재하며 유한합니다. $t_{n} < 0$

tn<0

$t_{p} > 0$

tp>0

$m (t_{n}) < \infty$

m(tn)<∞

$m (t_{p}) < \infty$

m(tp)<∞

$X$

증거에 들어가기 전에 두 가지 유용한 정리가 있습니다.

Lemma 1 : 그러한 및 가 존재 한다고 가정하십시오 . 그런 다음 에 대해 입니다.
증거 . 이것은 볼록성과 적분의 단 조성으로 이어집니다. 그러한 , 와 같은 있습니다. 그러나

따라서 적분의 의해 . $t_{n}$

$t_{p}$

$t_{0} \in [t_{n}, t_{p}]$

t0∈[tn,tp]

$m (t_{0}) < \infty$

m(t0)<∞

$e^{x}$

$t_{0}$

$θ \in [0, 1]$

θ∈[0,1]

$t_{0} = θ t_{n} + (1 - θ) t_{p}$

t0=θtn+(1−θ)tp

이자형 티 0 엑스 = 전자 θ 톤 엔 엑스 + (1 - θ) t 피 엑스 \leq θ e 티 엔 엑스 + (1 - θ) e 티 피 엑스 .

$E e^{t_{0} X} \leq θ E e^{t_{n} X} + (1 - θ) E e^{t_{p} X} < \infty$

이자형이자형티0엑스≤θ이자형이자형티엔엑스+(1−θ)이자형이자형티피엑스<∞

따라서 mgf가 두 개의 개별 지점에서 유한 한 경우 해당 지점 사이의 간격에있는 모든 값에 대해 유한합니다.

Lemma 2 ( 공백 중첩 $L_{p}$

엘피

) : 의 경우, 이면 입니다.
증명 :이 답변과 관련 의견 에는 두 가지 접근 방식이 있습니다. $0 \leq q \leq p$

0≤큐≤피

$E | X |^{p} < \infty$

이자형|엑스|피<∞

$E | X |^{q} < \infty$

이자형|엑스|큐<∞

이것은 우리에게 제안의 증거를 계속할만큼 충분합니다.

제안의 증거 . 만약 및 다음 복용 제안에서 언급 한 바와 같이 존재하는 , 우리는 제 표제어가 알고 및 . 그러나

및 우측은 어떤 고정 된에 대해, 특히, 따라서 음이 아닌 측면으로 구성된다
이제, 합니다. 적분의 단 조성은 산출 합니다. 따라서 모두 $t_{n} < 0$

티엔<0

$t_{p} > 0$

티피>0

$t_{0} = min (- t_{n}, t_{p}) > 0$

티0=분(−티엔,티피)>0

$m (- t_{0}) < \infty$

엠(−티0)<∞

$m (t_{0}) < \infty$

엠(티0)<∞

이자형 - t 0 엑스 + 전자 티 0 엑스 = 2 \sum n = 0 \infty t 2 n 0 X 2 n ( 2 n ) !,

$k$

e - t 0 X + e t 0 X \geq 2 t 2 k 0 X 2 k / (2 k)! .

$E e^{- t_{0} X} + E e^{t_{0} X} < \infty$

Ee−t0X+Eet0X<∞

$E X^{2 k} < \infty$

EX2k<∞

순간 조차도 유한합니다. Lemma 2는 즉시 "갭을 메우고" 모든 순간이 유한해야 한다는 결론을 내릴 수 있습니다. $X$

결과

손 질문에 대한 결말은 경우이다 어떤 의 순간의 무한 또는 존재하지 않는, 우리가 할 수있는 즉시
MGF가 원점을 포함하는 개방 간격으로 유한 아니라고 결론 지었다. (이것은 반대 되는 명제에 대한 진술입니다.) $X$

따라서, 위의 제안 은 mgf를 기준으로 의 순간에 대해 무언가를 말하기 위해 "올바른"조건을 제공합니다 . $X$

지수 적으로 제한된 꼬리와 mgf

제안 : mgf 는 의 꼬리 가 기하 급수적으로 묶인 경우에만
원점을 포함 하는 열린 간격 에서 유한합니다 예 : 일부 및 입니다 . $m (t)$

m(t)

$(t_{n}, t_{p})$

(tn,tp)

$F$

$P (| X | > x) \leq C e^{- t_{0} x}$

P(|X|>x)≤Ce−t0x

$C > 0$

C>0

$t_{0} > 0$

t0>0

증거 . 오른쪽 꼬리를 따로 다룰 것입니다. 왼쪽 꼬리는 완전히 유사하게 처리됩니다.

$(\Rightarrow)$

(⇒)

어떤 대해 라고 가정하십시오 . 그런 다음 의 오른쪽 꼬리 는 기하 급수적으로 묶입니다 . 즉, 와 같이
및 이 존재합니다
이를 확인하려면 Markov의 부등식에 의해
대해
가라 및 증거의 방향을 완료. $m (t_{0}) < \infty$

m(t0)<∞

$t_{0} > 0$

t0>0

$F$

$C > 0$

C>0

$b > 0$

b>0

P (X > x) \leq C e - b x .

$t > 0$

t>0

P (X > x) = P (e t X > e t x) \leq e - t x E e t X = m (t) e - t x .

$C = m (t_{0})$

C=m(t0)

$b = t_{0}$

b=t0

$(\Leftarrow)$

(⇐)

와 같이
및 이 있다고 가정합니다 . 그런 다음 경우

여기서 첫 번째 평등 은 음이 아닌 임의 변수의 기대치에 대한 표준 사실 . 어떤 선택 되도록 ; 그런 다음 오른쪽의 적분은 유한합니다. $C > 0$

C>0

$t_{0} > 0$

t0>0

$P (X > x) \leq C e^{- t_{0} x}$

P(X>x)≤Ce−t0x

$t > 0$

t>0

E e t X = \int \infty 0 P (e t X > y) d y \leq 1 + \int \infty 1 P (e t X > y) d y \leq 1 + \int \infty 1 C y - t 0 / t d y,

$t$

$0 < t < t_{0}$

0<t<t0

이것으로 증명이 완료됩니다.

mgf가 주어진 분포의 고유성에 대한 참고 사항

mgf가 0을 포함하는 열린 구간에서 유한 한 경우 연관된 분포는 해당 모멘트를 특징으로합니다 . 즉 모멘트가 유일한 분포입니다 . 특징적인 기능 에 대한 (상대적으로 간단한) 사실을 가지고 있다면 표준 증거는 짧습니다 . 세부 사항은 대부분의 현대 확률 텍스트 (예 : Billingsley 또는 Durrett)에서 찾을 수 있습니다. 이 답변 에는 몇 가지 관련 사항이 설명 되어 있습니다. $μ_{n} = E X^{n}$

μn=EX엔

예와 반례

( a ) 로그 정규 분포 : 정규 랜덤 변수 대해 경우 는 로그 정규 입니다. 따라서 은 확률 1입니다. 모든 대해 이기 때문에 이것은 즉시 모든 대해 임을 알려줍니다 . 따라서 mgf는 음이 아닌 반줄에서 유한합니다 . ( NB 우리는 의 음이 아닌 음만 사용 하여이 사실을 설정 했으므로 음이 아닌 임의의 모든 변수 에서 사실입니다 .) $X$

엑스

$X = e^{Y}$

엑스=이자형와이

$Y$

와이

$X \geq 0$

엑스≥0

$e^{- x} \leq 1$

이자형−엑스≤1

$x \geq 0$

엑스≥0

$m (t) = E e^{t X} \leq 1$

m(t)=EetX≤1

$t < 0$

t<0

$(- \infty, 0]$

(−∞,0]

$X$

그러나 모든 대해 입니다 . 표준 대수 정규 법을 표준 사례로 사용합니다. 만약 , 다음 . 변수를 변경하면

들어 과 충분한 , 우리가 위에서 주어진 경계에 의해. 그러나
임의 대한 및 MGF이 모두 무한대이므로 . $m (t) = \infty$

m(t)=∞

$t > 0$

t>0

$x > 0$

x>0

$e^{x} \geq 1 + x + \frac{1}{2} x^{2} + \frac{1}{6} x^{3}$

ex≥1+x+12x2+16x3

E의 전자 t X = (2 π) - (1) / 2 \int \infty - \infty 이자형 t의 전자 유 - u 2 / 2 (D)의 U .

$t > 0$

티>0

$u$

유

$t e^{u} - u^{2} / 2 \geq t + t u$

티이자형유−유2/2≥티+티유

\int \infty 케이 이자형 t + t u d u = \infty

$K$

케이

$t > 0$

티>0

반면, 로그 정규 분포의 모든 순간은 유한합니다. 따라서, 위의 제안의 결론에는 약 0의 간격으로 mgf가 존재 하지 않아도됩니다 .

( b ) 대칭 대수 정규화 : 우리는 대수 정규 분포를 "대칭"함으로써 더 극단적 인 사례를 얻을 수 있습니다. 밀도 고려 에 대한 되도록

MGF가 한정되어 있다는 이전의 예에 비추어 볼 어렵지 않다 만 에 대해 . 그러나 짝수 순간은 로그 정규의 순간과 동일하며 홀수 순간은 모두 0입니다! 따라서 mgf는 어디에도 존재 하지 않지만 (항상 존재하는 곳은 제외) 모든 주문의 유한 순간을 보장 할 수 있습니다. $f (x)$

에프(엑스)

$x \in R$

엑스∈아르 자형

에프 (x) = 1 2 2 π - - \sqrt | x | 이자형 - 1 2 (로그 | x |) 2 .

$t = 0$

티=0

( c ) 코시 분포 :이 분포는 또한 모든 대해 무한한 mgf를 갖지만 대해 절대 모멘트 는 유한 하지 않습니다 . MGF 대한 결과가 다음 보낸 대 등

대한 증거 는 유사합니다. (아마도 덜 알려진 것은 Cauchy에 대해 의 모멘트 가 존재한다는 것입니다. 이 답변보기 $t \neq 0$

티≠0

$E | X |^{p}$

이자형|엑스|피

$p \geq 1$

피≥1

$t > 0$

티>0

$e^{x} \geq x^{3} / 6$

이자형엑스≥엑스삼/6

$x > 0$

엑스>0

E의 전자 t X \geq \int \infty 1 티 삼 엑스 삼 6 π ( 1 + x 2 ) d x \geq t 삼 12 π \int \infty 1 엑스 d x = \infty .

$t < 0$

티<0

$0 < p < 1$

0<피<1

( d ) 반코시 분포 : 가 (표준) 코시 인 경우반 코시 랜덤 변수. 그러면 이전 예제 에서 모든 대해 임을 쉽게 알 수 있습니다 . 그러나 는 대해 유한합니다 . $X$

엑스

$Y = | X |$

와이=|엑스|

$E Y^{p} = \infty$

이자형와이피=∞

$p \geq 1$

피≥1

$E e^{t Y}$

이자형이자형티와이

$t \in (- \infty, 0]$

티∈(−∞,0]

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