데이터 표현을 선택하십시오

먼저 결과의 크기를보십시오. 에서 다른 모든 노드 까지 의 최단 경로를 수집하려고 합니다. 경로의 평균 길이가 아닌 상수 (에 의해 제한되지 않는 한 : 어떤 목록 unipath, 그리고 당신이 뿌리를 내릴 경우에 대한 이야 경로의 총 길이는 N ( N – 1 ) / 2 여기서 n은 입니다 목록의 길이)에 따라 데이터 표현에주의해야합니다. 경로를 포함하는 구조는 경로간에 공유를 사용해야합니다.s

$s$

$s$s

$s$

$s$n(n−1)/2

$n(n-1)/2$

$n(n-1)/2$n

$n$

$n$

사이클을 제외하고 에서 다른 노드 u 까지 의 단일 경로가 있습니다 . 해당 경로가 중간 노드 t를 통과하는 경우 경로 의 첫 번째 세그먼트는 s 에서 t 까지 의 원하는 경로입니다 . s

$s$

$s$u

$u$

$u$t

$t$

$t$s

$s$

$s$t

$t$

$t$

결과를 배열에 저장하고 에서 | 전자 | – (1) 과 (S) = 0 . 어레이의 각 요소를 저장 노드로의 경로에있는 이전 노드의 인덱스 (예를 들어 사용 – 1 에서 연결할 수없는 노드 특수 마커로서 S ). 에서 경로 들 에 t가 될 것이다 ( S = R [ … R [ t ] … ] , … , R [ R [ t0

$0$

$0$|E|−1

$|E|-1$

$|E|-1$s=0

$s=0$

$s=0$−1

$-1$

$-1$s

$s$

$s$s

$s$

$s$t

$t$

$t$ .(s=R[…R[t]…],…,R[R[t]],R[t],t)

$(s=R[\dots R[t]\dots ],\dots ,R[R[t]],R[t],t)$

$(s=R[\ldots R[t]\ldots],\ldots,R[R[t]],R[t],t)$

그래프 트래버스

초기화 모두에게 – 1 .R

$R$

$R$−1

$-1$

$-1$

에서 시작하여 그래프의 깊이 우선 또는 너비 우선 순회를 수행합니다 . 노드 u 에 도달 할 때마다 R [ u ] 를 이전 노드로 설정하십시오 .s

$s$

$s$u

$u$

$u$R[u]

$R[u]$

$R[u]$

사이클이 있으므로 노드에 두 번 이상 도달 할 수 있습니다. 데 것을 나타낸다 U가 이미 방문한되었다.R[u]≠−1

$R[u]\ne -1$

$R[u] \ne -1$u

$u$

$u$

정확성 증명

unipathic 특성으로 인해주기를 완료하지 않은 경우 각 노드에 도달하는 방법은 중요하지 않습니다. 간단한 경로는 하나뿐입니다.

복잡성 증명

알고리즘이 각 노드에 두 번 이상 도달 할 수 있으므로 복잡도가 인지 확실하지 않습니다 . 실제로 수행 된 작업은 Θ ( | E 0 | ) 이며 여기서 V 0 은 소스에서 도달 할 수있는 모서리입니다. 보다 정확하게, 우리는 한 상황에서만 두 번 이상 노드에 도달합니다. 노드가 특정 사이클에서 가장 먼저 도달하면이 경우 두 번 도달합니다 (간단한 경로에서 한 번, 사이클 완료 후 한 번) ).O(|V|)

$O(|V|)$

$O(|V|)$Θ(|E0|)

$\mathrm{\Theta }(|E_0|)$

$\Theta(|E_0|)$V0

$V_0$

$V_0$

그럼 unipathic graph에서 elementary cycle의 수는 노드 수에 따라 선형 적으로 증가한다는 것을 증명해 봅시다. (초등 사이클은 더 짧은 사이클을 포함하지 않는 사이클입니다.) 다음 논의에서는 그래프에 자체 에지가 없다고 가정합니다 (노드에서 자체 에지가 없음). 이러한 에지는 경로 구성과 관련이 없습니다. ).

단일 경로 그래프에는주기가있을 수 있지만 매우 제한적입니다. 우리가 어떻게 든 각 사이클을 별개의 노드 (또는 적어도 노드 당 제한된 수의 사이클)에 연결할 수 있다면 좋을 것입니다. 사이클이 노드를 공유 할 수 있습니까? 불행히도, 그렇습니다.

m

$m$

$m$a

$a$

$a$a

$a$

$a$bi

$b_i$

$b_i$∀i,a⇆bi

$\mathrm{\forall }i,a\leftrightarrows b_i$

$\forall i, a \leftrightarrows b_i$

그래서 우리는 더 열심히 일해야합니다. 자, 그것을 유도 적으로 증명하려고 노력합시다. 그래프 의 노드 수 , 가장자리 수, 자체 가장자리가 아닌 기본주기 수라고 합시다 . 가 단일 경로이고 비어 있지 않으면 이라고 주장합니다 .#V(G)

$\mathrm{\#}V(G)$

$\#V(G)$G

$G$

$G$#E(G)

$\mathrm{\#}E(G)$

$\#E(G)$#C(G)

$\mathrm{\#}C(G)$

$\#C(G)$G

$G$

$G$#C(G)≤#V(G)−1

$\mathrm{\#}C(G)\le \mathrm{\#}V(G)-1$

$\#C(G) \le \#V(G)-1$

하나 또는 두 개의 노드가있는 그래프의 경우 이는 분명합니다. 어설 션이 모든 그래프에 대해 을 유지하고 가 노드를 갖는 단일 경로 그래프 라고 가정 합니다. 에 사이클이없는 경우 이면 케이스가 닫힙니다. 그렇지 않으면 기본 주기로 설정하십시오.#V(G)<n

$\mathrm{\#}V(G)<n$

$\#V(G) < n$G

$G$

$G$n

$n$

$n$G

$G$

$G$0=#C(G)<#V(G)

$0=\mathrm{\#}C(G)<\mathrm{\#}V(G)$

$0 = \#C(G) < \#V(G)$(a1,…,am)

$(a_1,\dots ,a_m)$

$(a_1,\ldots,a_m)$

주기를 십시오. 는 노드에 마이너스 의 노드 와 노드 있고 의 모서리가 와 관련되지 않은 의 모서리 와 때마다 및 있을 때마다 . 모든 경로 에서 경로 유도 경로를 포함하는 경우 ( 다음으로 이것을 대체 GG′

$G^{\prime }$

$G'$G

$G$

$G${a1,…,am}

$\{a_1,\dots ,a_m\}$

$\{a_1,\ldots,a_m\}$a

$a$

$a$G

$G$

$G$ai

$a_i$

$a_i$a→G′b

$a{\to }_{G^{\prime }}b$

$a \rightarrow_{G'} b$∃i,ai→Gb

$\mathrm{\exists }i,a_i{\to }_{G}b$

$\exists i, a_i \rightarrow_G b$b→G′a

$b{\to }_{G^{\prime }}a$

$b \rightarrow_{G'} a$∃i,b→Gai

$\mathrm{\exists }i,b{\to }_G{a}_i$

$\exists i, b \rightarrow_G a_i$G′

$G^{\prime }$

$G'$G

$G$

$G$b→a→c

$b\to a\to c$

$b \rightarrow a \rightarrow c$b→ai→ai+1→…→aj→c

$b\to a_i\to a_{i+1}\to \dots \to a_j\to c$

$b \rightarrow a_i \rightarrow a_{i+1} \rightarrow \ldots \rightarrow a_j \rightarrow c$ in ). 따라서 는 단일 경로입니다. 또한 사이클은 에지를 공유하지 않으므로 는 우리가 제거한 사이클을 제외하고 모든 사이클을 갖습니다 : . 유도에 의해 . 이후 , 우리가 .G

$G$

$G$G′

$G^{\prime }$

$G'$G

$G$

$G$G′

$G^{\prime }$

$G'$G

$G$

$G$#C(G′)=#C(G)−1

$\mathrm{\#}C(G^{\prime })=\mathrm{\#}C(G)-1$

$\#C(G') = \#C(G)-1$#C(G′)≤#V(G′)−1

$\mathrm{\#}C(G^{\prime })\le \mathrm{\#}V(G^{\prime })-1$

$\#C(G') \le \#V(G')-1$#V(G′)=#V(G)−m+1

$\mathrm{\#}V(G^{\prime })=\mathrm{\#}V(G)-m+1$

$\#V(G') = \#V(G) - m + 1$#C(G)=#C(G′)+1≤#V(G)−m=n−m≤n−1

$\mathrm{\#}C(G)=\mathrm{\#}C(G^{\prime })+1\le \mathrm{\#}V(G)-m=n-m\le n-1$

$\#C(G) = \#C(G')+1 \le \#V(G) - m = n-m \le n-1$

2|V|−2

$2|V|-2$

$2|V|-2$

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