벡터 색도 수가 색도 보다 작은 작은 그래프 를 찾고 있습니다.G

$G$

$G$χv(G)<χ(G)

${\chi }_v(G)<\chi (G)$

$\chi_v(G)<\chi(G)$

( 가있는 경우 는 벡터 색수 . 여기서 인접 정점과 연관된 벡터는 직관적으로 멀리 떨어져 있습니다. 요구 사항은 예를 들어, 의 경우 삼각형의 정점이 충분합니다.)G

$G$

$G$q

$q$

$q$x:V→Rd

$x:V\to {\mathbf{R}}^d$

$x\colon V \rightarrow \mathbf R^d$⟨x(v),x(w)⟩≤−1/(q−1)

$⟨x(v),x(w)⟩\le -1/(q-1)$

$\langle x(v), x(w)\rangle \leq -1/(q-1)$q=3

$q=3$

$q=3$

그래프의 벡터 색도는 색도 수보다 크지 않습니다 : . 예는 인 그래프로 알려져 있습니다. (Karger, Motwani, 수단의 원본 논문 [JACM, 45 : 246-265] ( manuscript )은 일반화 된 Kneser 그래프를 제안하며, 최신 논문은 임의 단위 벡터를 기반으로 한 구성을 사용합니다.)χv(G)≤χ(G)

${\chi }_v(G)\le \chi (G)$

$\chi_v(G)\leq \chi(G)$χv(G)=3

${\chi }_v(G)=3$

$\chi_v(G)=3$ χ(G)=nδ

$\chi (G)=n^{\delta }$

$\chi(G)=n^\delta$

내가 예를 생각 그래프 와 및 (컴퓨터 계산에 기초하여). 이 그래프에는 20 개의 정점과 90 개의 모서리가 있습니다.K

$K$

$K$χv(K)=4

${\chi }_v(K)=4$

$\chi_v(K)=4$χ(K)=8

$\chi (K)=8$

$\chi(K)=8$

더 작은 예가 있습니까? 유혹의 길은 그러한 짐승이 존재한다면 Chvatal 또는 Grötzsch 그래프의 콘크리트 벡터 3 색을 제공하는 것입니다.

( 는 필요는 없지만 좋을 것입니다. 업데이트 : 아래에서 지적했듯이 비 적분 사례는 실제로 쉽습니다. 감사합니다.)χv

${\chi }_v$

$\chi_v$

업데이트 : Grötzsch and Chvátal

Chvátal 및 Grötzsch 그래프의 3 색 벡터에 대한 생각에는 저항 할 수 없었습니다.

Grötsch 그래프는 다음과 같이 3 색 벡터가 될 수 있습니다. 북극에 5도 노드를 놓습니다. 5도 -4 노드는 북쪽에서 약 77 도의 동일한 위도에 균등하게 배치됩니다. 지구의 북반구에 그려진 오각형을 상상해보십시오. 남은 반구 (북쪽에서 약 135도)에서 남은 5 개의 노드 (3도)가 끝납니다. 의 경도는 5 명의 경도와 동일합니다. (필요한 경우 도면을 업로드하지만 생각보다 TikZ에서 측지선을 그리는 것이 더 어렵습니다.)

SDP 솔버에 따르면 Chvátal은 벡터 3 색도 인정하지만 출력은 5 차원의 벡터 묶음으로 해석하기가 어렵습니다.

(3 번째 시도 실패 : Yury의 구조에서 영감을 얻은 후 5 사이클을 가져와 다른 모든 꼭지점에 꼭지점을 추가합니다.이 그래프의 색도는 4입니다. 그러나 솔버에 따르면 벡터는 3 색이 아닙니다.)

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