편집 : 내가 대답 한 주장은 잘못이 아니었지만 약간 오해의 소지가 있었는데, 일부 는 상한이 타이트해야한다는 것을 보여주었습니다. n

$n$

$n$ (실제로는 빡빡해야하기 때문에 실제로는 사소합니다. n=2

$n=2$

$n=2$ 바운드는 1)입니다.

보다 정확한 주장은 다음과 같습니다. 상한의 경우log2n

${\log }_{2}n$

$\log_2 n$
어떤 특정에 대한 느슨한 n

$n$

$n$그런 다음 모두 를 위해 n

$n$

$n$ 필요한 오라클 호출 수는 O(1)

$O(1)$

$O(1)$.

(확실히 아닙니다 O(1)

$O(1)$

$O(1)$따라서 상한이 결코 풀리지 않습니다! 그러나 나는 실제로 여기에서 그것을 증명하지 못하고 문제에 대한 다른 대답을 고려할 때 추구 할 가치가없는 것 같습니다.)

최대 출력 을 계산 하는 문제를 고려하십시오 .

주어진 n

$n$

$n$튜플 (M1,…,Mn)

$(M_1,\dots ,M_n)$

$(M_1,\ldots,M_n)$ 튜링 머신의 최대 출력을 계산합니다. ϵ

$ϵ$

$\epsilon$). 정지 된 것이 없으면 0을 반환합니다.

의 기능으로 n

$n$

$n$이 함수를 계산하는 데 필요한 최악의 Oracle 호출 수는 다음 중 어느 것을 결정하는 데 필요한 수와 같습니다. n

$n$

$n$주어진 기계가 정지합니다. (어떤 기계가 정지했는지 아는 경우 최대 출력을 쉽게 계산할 수 있습니다. 반대로, 어떤 기계가 정지했는지 알고 싶다면 문제 설명의 구성에 따라 기계를 구성 할 수 있습니다{M′i}

$\{M_i^{\prime }\}$

$\{M'_i\}$ (i=1,2,…,n)

$(i=1,2,\dots ,n)$

$(i=1,2,\ldots,n)$
어디 M′i

$M_i^{\prime }$

$M'_i$ 모든 실행 n

$n$

$n$ 주어진 기계를 병렬로 멈춘 후 정지 및 출력 i

$i$

$i$ 만약 i

$i$

$i$그들 중 이제까지 중단되었습니다. 최대 출력은 중단되는 숫자를 알려줍니다. 그로부터 정확히 어떤 정지를 계산할 수 있습니다.)

자 이제 n0

$n_0$

$n_0$ 가장 작은 정수이다 n

$n$

$n$ (있는 경우) 다음을 보유합니다.

사용 C(n)=max{k∈Z:2k<n}

$C(n)=max\{k\in \mathbb{Z}:2^k<n\}$

$C(n) = \max\{k \in \mathbb{Z} : 2^k < n\}$오라클 전화, 하나의 최대 출력을 계산할 수 주어진 기계. (즉, 상한은 대해 엄격하지 않습니다 .)n

$n$

$n$n

$n$

$n$

이므로 분명히 입니다. 실제로, 이므로 이기도 하지만 (Oracle 호출없이) 지정된 시스템 의 최대 출력을 계산할 수 없습니다. 이제 더 큰 고려하십시오 .n0>1

$n_0>1$

$n_0>1$C(1)=−1

$C(1)=-1$

$C(1) = -1$n0>2

$n_0>2$

$n_0>2$C(2)=0

$C(2)=0$

$C(2) = 0$2

$2$

$2$n

$n$

$n$

제 : 경우 유한하고, 임의의에 대해 , 하나의 최대 출력을 계산할 수 에서 주어진 시스템 오라클 전화. n0

$n_0$

$n_0$n

$n$

$n$n

$n$

$n$C(n0)

$C(n_0)$

$C(n_0)$( 이 유한이면 입니다.)n0

$n_0$

$n_0$C(n0)=O(1)

$C(n_0)=O(1)$

$C(n_0) = O(1)$

증명. . 우리는 에 유도함으로써 그것을 증명합니다 . 기본 사례는 이며 과 정의로 유지됩니다 .n

$n$

$n$n≤n0

$n\le n_0$

$n\le n_0$n0

$n_0$

$n_0$C

$C$

$C$

하자 주어진, 그 TM 될 튜링 기계만을 사용하여 최대 출력을 계산 오라클 호출한다.Q0

$Q_0$

$Q_0$n0

$n_0$

$n_0$C(n0)

$C(n_0)$

$C(n_0)$

수정하십시오 . 머신 주어지면 다음과 같이 최대 출력을 계산하십시오.n>n0

$n>n_0$

$n>n_0$n

$n$

$n$M1,…,Mn

$M_1,\dots ,M_n$

$M_1,\ldots, M_n$

첫 번째 기계에 . 실행 고려 다음에 기계. 참고 것을 하게 오라클을 호출하고, 거기에만 이러한 호출에 오라클 가능한 응답. 정의상 입니다. 하자 나타 일 수 응답. 각 , 건설 기계
시뮬레이션 다음과 같이 이들 머신을 :M1,…,Mn0

$M_1,\dots ,M_{n_0}$

$M_1,\ldots,M_{n_0}$Q0

$Q_0$

$Q_0$n0

$n_0$

$n_0$Q0

$Q_0$

$Q_0$C(n0)

$C(n_0)$

$C(n_0)$n′=2C(n0)

$n^{\prime }=2^{C(n_0)}$

$n' = 2^{C(n_0)}$n′=2C(n0)<n0

$n^{\prime }=2^{C(n_0)}<n_0$

$n' = 2^{C(n_0)} < n_0$oi

$o_i$

$o_i$i

$i$

$i$i=1,…,n′

$i=1,\dots ,n^{\prime }$

$i=1,\ldots,n'$M′i

$M_i^{\prime }$

$M'_i$Q0

$Q_0$

$Q_0$

TM (입력 ) :M′i

$M_i^{\prime }$

$M'_i$ϵ

$ϵ$

$\epsilon$

1. 시뮬레이션 온 기계 , 대신 오라클를 호출에 따라 오라클 응답을 가정 .Q0
   $Q_0$

   $Q_0$n0

   $n_0$

   $n_0$(M1,…,Mn0)

   $(M_1,\dots ,M_{n_0})$

   $(M_1,\ldots,M_{n_0})$oi

   $o_i$

   $o_i$

2. 이 시뮬레이션은 중단되지 않을 수 있습니다 (예 : 가 오라클이 실제로 반환하는 것이 아닌 경우 ).oi
   $o_i$

   $o_i$

3. 시뮬레이션이 멈추는 경우,하자 있는 최대 출력 될 주어질 것이라고 말했습니다.hi
   $h_i$

   $h_i$Q0

   $Q_0$

   $Q_0$

4. 모든 머신을 더브 테일하십시오 . 그중 하나가 출력하면 를 중지하고 출력 .n0
   $n_0$

   $n_0$(M1,…,Mn0)

   $(M_1,\dots ,M_{n_0})$

   $(M_1,\ldots,M_{n_0})$hi

   $h_i$

   $h_i$hi

   $h_i$

   $h_i$

이제 주어진 머신 순서 에서 첫 번째 머신 을 이러한 머신 . 이 기계 순서에서 하여 계산 된 값을 리턴하십시오 . (오라클은 되풀이하기 전에 호출되지 않으므로 오라클은 기본 사례에 도달 한 후에 만 ​​호출됩니다.)n

$n$

$n$n0

$n_0$

$n_0$M1,…,Mn0

$M_1,\dots ,M_{n_0}$

$M_1,\ldots,M_{n_0}$n′<n0

$n^{\prime }<n_0$

$n'< n_0$M′1,…,M′n′

$M_1^{\prime },\dots ,M_{n^{\prime }}^{\prime }$

$M'_1,\ldots,M'_{n'}$n−(n0−n′)<n

$n-(n_0-n^{\prime })<n$

$n-(n_0-n') < n$

이 계산이 올바른 이유는 다음과 같습니다. 들어 되도록 오라클에 의해`올바른 '응답 인 쿼리에, 멈추고 원래의 정확한 최대 출력을 제공 할 기계. 따라서 기계 의 최대 출력
은 최소한 기계 의 최대 출력 입니다. 반면 4 단계에서는
가 의 최대 출력보다 큰 출력을 제공 할 수 없습니다 . 따라서, 기계 의 최대 출력i

$i$

$i$oi

$o_i$

$o_i$Q0

$Q_0$

$Q_0$M′i

$M_i^{\prime }$

$M'_i$n0

$n_0$

$n_0$n′

$n^{\prime }$

$n'$(M′1,…,M′n′)

$(M_1^{\prime },\dots ,M_{n^{\prime }}^{\prime })$

$(M'_1,\ldots,M'_{n'})$n0

$n_0$

$n_0$(M1,…,Mn0)

$(M_1,\dots ,M_{n_0})$

$(M_1,\ldots,M_{n_0})$M′i

$M_i^{\prime }$

$M'_i$(M1,…,Mn0)

$(M_1,\dots ,M_{n_0})$

$(M_1,\ldots,M_{n_0})$n′

$n^{\prime }$

$n'$(M′1,…,M′n′)

$(M_1^{\prime },\dots ,M_{n^{\prime }}^{\prime })$

$(M'_1,\ldots,M'_{n'})$
은 대체 하는 머신 의 최대 출력과 같습니다 . QEDn0

$n_0$

$n_0$

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