모든 로그에서 최대 로그를 뺍니다. 음수 인 모든 결과를 버리면 지수가 넘치게됩니다. (그들의 가능성은 모든 실제적인 목적을 위해 0입니다.)

당신의 상대 정밀도를 원하는 경우 사실, (예 : ε = 10 – D 에 대한 D의 정밀도 자리)와 당신이 N 우도의 대수보다 적은 어떤 결과를 버리지 ε / N . 그런 다음 평소대로 진행하여 결과 값을 지수화하고 각 지수를 모든 지수의 합으로 나눕니다.ϵ

$ϵ$

$\epsilon$ϵ=10−d

$ϵ={10}^{-d}$

$\epsilon = 10^{-d}$d

$d$

$d$n

$n$

$n$ϵ/n

$ϵ/n$

$\epsilon/n$

공식을 좋아하는 사람들을 위해 로그 는 λ n = max ( λ i ) 인 으로하십시오 . 밑수 대한 로그의 경우 다음을 정의하십시오.λ1,λ2,…,λn

${\lambda }_1,{\lambda }_2,\dots ,{\lambda }_n$

$\lambda_1, \lambda_2, \ldots, \lambda_n$λn=max(λi)

${\lambda }_n=max({\lambda }_i)$

$\lambda_n = \max(\lambda_i)$b>1

$b>1$

$b\gt 1$

$$\alpha_i = \cases{ b^{\lambda_i - \lambda_n}, \lambda_i - \lambda_n \ge \log(\epsilon)-\log(n) \\ 0\quad \text{otherwise}.}$$

정규화 된 가능성은 , i = 1 , 2 , … , n과 같습니다 . 그렇지 않으면 언더 플로가되는 모든 α i 를 0으로 대체 하면 최대 n ( n – 1 ) ϵ / n < ϵ 의 총 오차가 발생 하지만 α n = b λ n – λ n = b 0 = 이기 때문에 작동합니다.α나는/ ∑엔j = 1αj

${\alpha }_{\mathrm{나는}}/\sum _{j=1}^{엔}{\alpha }_j$

$\alpha_i / \sum_{j=1}^n \alpha_j$i = 1 , 2 , … , n 입니다.

$\mathrm{나는}=1,2,\dots ,엔.$

$i = 1, 2, \ldots, n.$α나는

${\alpha }_{\mathrm{나는}}$

$\alpha_i$( n – 1 ) ϵ / n < ϵ

$(엔-1)ϵ/엔<ϵ$

$(n-1)\epsilon/n\lt \epsilon$ 이고 모든 α i 는 음수가 아니고 분모 A = ∑ j α j ≥ 1 이며,제로 교체 규칙으로 인한총상대오차가 ( ( n – 1 ) ϵ / n ) / A < ε 로서 원하는.α엔= bλ엔− λ엔= b0= 1

${\alpha }_{엔}={비}^{{\lambda }_{엔}-{\lambda }_{엔}}={비}^0=1$

$\alpha_n=b^{\lambda_n-\lambda_n}=b^0=1$α나는

${\alpha }_{\mathrm{나는}}$

$\alpha_i$A = ∑jαj≥ 1

$\mathrm{에이}=\sum _j{\alpha }_j\ge 1$

$A = \sum_j \alpha_j \ge 1$((n−1)ϵ/n)/A<ϵ

$((n-1)ϵ/n)/A<ϵ$

$\left((n-1)\epsilon/n \right) / A \lt \epsilon$

반올림 오류를 너무 많이 피하려면 의 가장 작은 값으로 시작하는 합계를 계산하십시오 . 이것은 λ i 가 처음으로 오름차순으로 정렬 될 때 자동으로 수행됩니다 . 이것은 매우 큰 n에 대해서만 고려할 사항 입니다.αi

${\alpha }_i$

$\alpha_i$λi

${\lambda }_i$

$\lambda_i$n

$n$

$n$

BTW,이 처방전은 로그의 기초가 보다 크다고 가정했습니다 . 염기 B 미만 1 염기가 동일 것처럼 그리고 제 부정 모든 로그 진행할 1 / B .1

$1$

$1$b

$b$

$b$1

$1$

$1$1/b

$1/b$

$1/b$

---

예

− 231444.981 , − 231444.699 와 같은 로그 (자연 로그 등)를 갖는 세 개의 값이 있습니다 . 마지막이 가장 큽니다. 각각의 값에서 감산하는 범 – 38202.733 , – 0.282 , 및 0.−269647.432,

$-269647.432,$

$-269647.432,$ −231444.981,

$-231444.981,$

$-231444.981,$−231444.699.

$-\mathrm{231444.699.}$

$-231444.699.$−38202.733,

$-38202.733,$

$-38202.733,$ −0.282,

$-0.282,$

$-0.282,$0.

$0.$

$0.$

당신은 IEEE의 두 배 (약 16 진수)에 비해 정밀도를 싶습니다 그래서 가정 와 N = 3 . (당신은 실제로 때문에,이 정밀도를 달성 할 수없는 – 0.282 우리는 당신이 원하는 정밀도와 정확도 실제로 당신의 더 나은 영향을 미치지 않도록 보장 값을 버리고있어 : 단지 세 개의 유효 숫자가 주어집니다,하지만 괜찮아요 계산 로그 ( ϵ / n ) = 로그 ( 10 − 16 ) − 로그 ( 3 ) = −ϵ=10−16

$ϵ={10}^{-16}$

$\epsilon=10^{-16}$n = 3

$엔=\mathrm{삼}$

$n=3$− 0.282

$-0.282$

$-0.282$로그( ϵ / n )

$\mathrm{로그}(ϵ/엔)$

$\log(\epsilon/n)$로그( 10− 16) − 로그( 3 )

$\mathrm{로그}({10}^{-16})-\mathrm{로그}(\mathrm{삼})$

$\log(10^{-16}) - \log(3)$ 세 차이의 첫 번째는, – 38202.733는 , 그래서 그냥 떠나 멀리 던져 덜이보다 – 0.282 와 0 그들이 제공 제곱 승 애 썼는데 ( – 0.282 ) = 0.754 및 특급 ( 0 ) = 1 (물론). 버린값의 순서는 0 , 0.754 / ( 1 + 0.754 ) = 0.430 및 1 / ( 1 +− 37.93997.

$-\mathrm{37.93997.}$

$-37.93997.$− 38202.733 ,

$-38202.733,$

$-38202.733,$− 0.282

$-0.282$

$-0.282$0.

$0.$

$0.$특급( − 0.282 ) = 0.754

$\mathrm{특급}(-0.282)=0.754$

$\exp(-0.282) = 0.754$특급( 0 ) = 1

$\mathrm{특급}(0)=1$

$\exp(0)=1$0

$0$

$0$0.754 / ( 1 + 0.754 ) = 0.430

$0.754/(1+0.754)=0.430$

$0.754 / (1 + 0.754) = 0.430$ 이다.1 / ( 1 + 0.754 ) = 0.570

$1/(1+0.754)=0.570$

$1/(1+0.754)=0.570$

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