다항식으로 OR 표현 나는 변수 에

나는 변수 에 대한 OR 함수 가 다항식 로 정확하게 표현 될 수 있음을 알고 있습니다 :
이며 . $n$

n

$n$ $x_{1}, \dots, x_{n}$

x_{1}, \dots, x_{n}

$x_1,\ldots, x_n$ $p (x_{1}, \dots, x_{n})$

p (x_{1}, \dots, x_{n})

$p(x_1,\ldots,x_n)$ $p (x_{1}, \dots, x_{n}) = 1 - \prod_{i = 1}^{n} (1 - x_{i})$

p (x_{1}, \dots, x_{n}) = 1 - \prod_{i = 1}^{n} (1 - x_{i})

$p(x_1,\ldots,x_n) = 1-\prod_{i = 1}^n\left(1-x_i\right)$ $n$

n

$n$

그러나 $p$

p

$p$ 가 OR 함수를 정확하게 나타내는 다항식 인 경우 (그래서 $\forall x \in {0, 1}^{n} : p (x) = ⋁_{i = 1}^{n} x_{i}$

\forall x \in {0, 1}^{n} : p (x) = ⋁_{i = 1}^{n} x_{i}

$\forall x \in \{0,1\}^n : p(x) = \bigvee_{i = 1}^n x_i$ ) 다음 $\deg (p) \geq n$

\deg (p) \geq n

$\deg(p) \ge n$ ?

답변

하자 부울 함수이다. 이 다항식 표현되어있는 경우 다음은 multilinear 다항식 표현 갖는다 정도를 : 그냥 전원 교체 , 여기서 의해 . 따라서 우리는 다 선형 다항식에 대한주의를 제한 할 수 있습니다. $f : {0, 1}^{n} \to {0, 1}$

f : {0, 1}^{n} \to {0, 1}

$f\colon \{0,1\}^n \to \{0,1\}$ $P$

P

$P$ $Q$

Q

$Q$ $\deg Q \leq \deg P$

\deg Q \leq \deg P

$\deg Q \leq \deg P$ $x_{i}^{k}$

x_{i}^{k}

$x_i^k$ $k \geq 2$

k \geq 2

$k \geq 2$ $x_{i}$

x_{i}

$x_i$

주장 : 다항식 ${\prod_{i \in S} x_{i} : S \subseteq [n]}$

{\prod_{i \in S} x_{i} : S \subseteq [n]}

$\{ \prod_{i \in S} x_i : S \subseteq [n] \}$ , 함수 ${0, 1}^{n} \to R$

{0, 1}^{n} \to R

$\{0,1\}^n \to \mathbb{R}$ 은 공간의 기초를 형성합니다. 모든 함수 중 ${0, 1}^{n} \to R$

{0, 1}^{n} \to R

$\{0,1\}^n \to \mathbb{R}$ 입니다.

증명 : 먼저 다항식이 선형 적으로 독립적이라는 것을 보여줍니다. 모든 대해 이라고 가정하십시오 . 우리는그 . 모든 대해 이라고 가정하십시오. , 카디널리티 의 집합 가 주어 . 모든 대해 이므로 . 여기서 는 의 좌표에서 입력입니다 . $f = \sum_{S} c_{S} \prod_{i \in S} x_{i} = 0$

f = \sum_{S} c_{S} \prod_{i \in S} x_{i} = 0

$f = \sum_S c_S \prod_{i \in S} x_i = 0$ $(x_{1}, \dots, x_{n}) \in {0, 1}^{n}$

(x_{1}, \dots, x_{n}) \in {0, 1}^{n}

$(x_1,\ldots,x_n) \in \{0,1\}^n$ $| S |$

| S |

$|S|$ $c_{S} = 0$

c_{S} = 0

$c_S = 0$ $c_{T} = 0$

c_{T} = 0

$c_T = 0$ $| T | < k$

| T | < k

$|T| < k$ $S$

S

$S$ $k$

k

$k$ $T \subset S$

T \subset S

$T \subset S$ $c_{T} = 0$

c_{T} = 0

$c_T = 0$ $0 = f (1_{S}) = c_{S}$

0 = f (1_{S}) = c_{S}

$0 = f(1_S) = c_S$ $1_{S}$

1_{S}

$1_S$ $1$

1

$1$ $S$

S

$S$ $◻$

◻

$~\qquad\square$

주장은 함수 의 다중 선 표현 이 고유 하다는 것을 보여줍니다 (실제로 는 값일 필요조차 없습니다 ) . OR의 고유 한 다중 표현은 이며 . $f : {0, 1}^{n} \to {0, 1}$

f : {0, 1}^{n} \to {0, 1}

$f\colon \{0,1\}^n \to \{0,1\}$ $f$

f

$f$ $0 / 1$

0 / 1

$0/1$ $1 - \prod_{i} (1 - x_{i})$

1 - \prod_{i} (1 - x_{i})

$1-\prod_i(1-x_i)$ $n$

n

$n$

답변

하자 그 모든 다항식하여야 , . 다항식 의 대칭성을 고려하십시오 .
OR 함수는 대칭 부울 함수이므로 , 및 입니다. 이후 의 다항식 비 제로이고, 그것이 갖는 적어도 개의 0, 그 이상의 정도 있어야 . 따라서 도 차수 가져야합니다 . $p$

p

$p$ $x \in {0, 1}^{n}$

x \in {0, 1}^{n}

$x\in \{0,1\}^n$ $p (x) = O R (x)$

p (x) = O R (x)

$p(x) = \sf{OR}(x)$ $p$

p

$p$

q (k) = \frac{1}{(\binom{n}{k})} \sum_{x : | x | = k} p (x) .

$q(k) = \frac{1}{\binom{n}{k}} \sum_{x: |x| = k} p(x).$ $k = 1, 2, \dots, n$

k = 1, 2, \dots, n

$k = 1, 2, \ldots, n$ $q (k) = 1$

q (k) = 1

$q(k) = 1$ $q (0) = 0$

q (0) = 0

$q(0) = 0$ $q - 1$

q - 1

$q-1$ $n$

n

$n$ $n$

n

$n$ $p$

p

$p$ $n$

n

$n$

대칭은 종종 대략적인 부울 함수와 양자 쿼리 복잡성의 연구에 사용됩니다. 예를 들어 http://www.math.uwaterloo.ca/~amchilds/teaching/w11/l19.pdf를 참조하십시오 .

답변

유발과 헨리는이 사실에 대한 두 가지 다른 증거를 제시했습니다. 세 번째 증거가 있습니다.

첫째, Yuval의 답변 에서처럼 우리는 다 선형 다항식에 대한 관심을 제한합니다. 이제 OR 함수와 같은 차수 다선 다항식을 이미 표시했습니다 . 이제 우리가 보여줄 필요는이 다항식이 독특하다는 것입니다. 결과적으로 그 차수는 입니다. $n$

n

$n$ $n$

n

$n$

주장 : 두 개의 다 선형 다항식 p와 q가 하이퍼 큐브에서 같으면 어디에서나 동일합니다.

증명 : r (x) = p (x)-q (x)라고하고, 우리는 모든 x에 대해 r (x) = 0임을 알고 있습니다. r (x)가 동일하게 0임을 보여주고 자합니다. 모순을 향해, 그렇지 않다고 가정하고, 최소도를 갖는 0이 아닌 계수로 r에서 모든 단항을 선택하십시오. 이 monomial 외부의 모든 변수를 0으로 설정하고이 monomial의 모든 변수를 1로 설정하십시오. r (x)는이 입력에서 0이 아니지만이 입력은 부울이므로 모순입니다. ${0, 1}^{n}$

{0, 1}^{n}

$\{0,1\}^n$

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