표준 정규 확률 변수의 제곱의 pdf [닫힘]

의 pdf를 찾아야하는이 문제가

Y=X2

있습니다. 내가 아는 것은

X

는 분포

N(0,1)

입니다. 는 어떤 종류의 분포

Y=X2

입니까? 와 동일

X

합니까? pdf는 어떻게 찾습니까?



답변

확률 이론 및 통계의 가장 유명한 결과 중 하나를 발견했습니다. 이 사이트에서이 질문을하기 전에 질문에 대한 답변을 드리겠습니다.

우선, 노트의 PDF 것을

Y=X2

와 동일 할 수 없다

X

로서

Y

음수가 될 것이다.

Y

의 분포를 도출하기 위해 mgf 기법, cdf 기법 및 밀도 변환 기법의 세 가지 방법을 사용할 수 있습니다. 의 시작하자.

순간 생성 기능 기술 .

또는 원하는 기능 기술.

Y=X2

의 mgf를 찾아야합니다 . 따라서 기대치를 계산해야합니다

E[etX2]

무의식 통계학 자의 법칙을 사용하여

X

분포에 대한이 적분을 계산하기 만하면 됩니다. 따라서 우리는 계산해야합니다

E[etX2]=12πetx2ex22dx=12πexp{x22(12t)}dt=(12t)1/2(12t)1/212πexp{x22(12t)}dt=(12t)1/2,t<12

마지막 줄에서 우리는 적분과 평균 0을 갖는 가우스 적분과 적분을 비교했습니다

1(12t)

. 물론 이것은 실제 라인을 통해 하나로 통합됩니다. 이제 그 결과로 무엇을 할 수 있습니까? 글쎄, 당신은 매우 복잡한 역변환을 적용하고이 MGF에 해당하는 pdf를 결정하거나 단순히 자유도를 가진 카이 제곱 분포의 MGF로 인식 할 수 있습니다. (카이 제곱 분포는α=r 인감마 분포의 특수한 경우입니다.

α=r2

,

r

자유도 인, 및

β=2

).

CDF 기술

이것은 아마도 당신이 할 수있는 가장 쉬운 일이며 Glen_b가 의견에서 제안합니다. 이 기술에 따르면, 우리는 계산

FY(y)=P(Yy)=P(X2y)=P(|X|y)

y

FY(y)=P(|X|y)=P(y<X<y)=Φ(y)Φ(y)

Φ(.)

y

fY(y)=FY(y)=12yϕ(y)+12yϕ(y)=1yϕ(y)

ϕ(.)

fY(y)=1y12πey2,0<y<

자유도가 1 인 카이 제곱 분포의 pdf로 인식합니다 (지금까지 패턴이 표시 될 수 있음).

밀도 변환 기술

Y=g(X)

Y

fY(y)=|ddyg1(y)|fX(g1(y))

y

g

X

Y

g

X

Y=g(X)

g

Y

fY(y)=|ddyg1(y)|fX(g1(y))

여기서 합은 모든 역함수에 적용됩니다. 이 예는 그것을 분명히 할 것입니다.

y=x2

x=±y

12y

fY(y)=12y12πey/2+12y12πey/2=1y12πey/2,0<y<

자유도가 1 인 카이 제곱 분포의 pdf입니다. 참고로,이 기법은 더 이상 변환의 CDF를 파생시킬 필요가 없기 때문에 특히 유용합니다. 물론 이것은 개인적인 취향입니다.


따라서 표준 정규 확률 변수의 제곱이 자유도 1의 카이 제곱 분포를 따르는 지 확인하여 오늘 밤 잠자리에들 수 있습니다.


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