DFA에 대한 흥미로운 공개 문제 중 하나에 나와 있습니다. DFA에 대해 공개 된 문제가 있습니까? 길이가 두 개의 문자열을 구분하는 데 필요한 DFA의 크기입니다
. 임의의 DFA가 두 개의 주어진 (비 랜덤) 문자열을 분리하는 기능에 대한 결과가 있는지 궁금합니다.
충분히 많은 상태의 무작위 DFA는 문자열을 확률이 높은 것으로 구분합니다. 특히
,
상태 의 임의의 DFA 는
와
다른 첫 번째 위치에 도달하면 동일한 상태를 다시 방문 할 가능성이 없으므로
와 분리
합니다.
더 잘할 수 있을까요? 이상적으로는, 작은 무엇 성이있는 임의의 DFA와 F ( N ) 의 길이 상태 분리형 문자열 N 양의 확률 (혹은 확률 ≥ 1 / 2 )? 간단한 검색은 무작위 DFA의 속성에 대한 많은 결과를 나타내지 않았습니다. 내가 찾을 수있는 것은 http://arxiv.org/abs/1311.6830 이었습니다 .
답변
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이것은 단지 비공식적 인 아이디어이며 도움이되는지 모르겠지만 의견으로 제시하기에는 너무 깁니다. 또한 임의의 DFA에 익숙하지 않으므로 확률에 대해 추론해야 할 방법에 대한 잘못된 직관이있을 수 있지만 이것이 완전히 가치가없는 것은 아닙니다.
나는 당신의 한계가 와 v의 차이 에 달려 있다고 가정합니다 . 그렇지 않은 경우, 그것은 최악의 경우 자신의 첫 번째 문자 만 다른 문자열이라는 것을 나에게 분명한 것 같다 (세트에서 서로 다른 문자열 X 위치는 세트에서 서로 다른 문자열보다 떨어져 말했다되는 더 많은 기회가 Y ⊂ X 위치를 , 가능한 한 빨리 차이를두면 재 동기화 할 수 있습니다).
또한 단어가 구별 될 가능성, 즉 단어가 다른 상태에 도달 할 가능성을 살펴 보겠습니다. 그런 다음 임의의 DFA가 최종 상태를 할당하는 방식에 따라 수락 또는 거부되도록 조정해야한다고 생각합니다. 각 상태의 확률이 최종 확률의 1/2 인 경우, 스트링이 동일한 상태에서 끝나는 경우에는 구별되지 않으며, 다른 상태에서 끝나는 경우에는 1/2의 확률이 있습니다.
이제 u 와 v 에서 얻은 단어 를 다음과 같이 고려할 것입니다 . u i = v i 이면 w i = 1 이고 , 그렇지 않으면 w i = 0 입니다. 나는 w 가 u 와 v 에 관해 고려해야 할 유일한 흥미로운 것임이 분명하다고 생각합니다 .
이제, u 와 v 의 길이 i 의 접두사를 읽은 후 가 같은 상태에있을 확률을 정의 하고, q ( i ) = 1 – p ( i ) 가 아닌 확률을 정의하십시오.
w i + 1 이 1 일 때 이 있다고 생각 합니다. 직관적으로, 우리가 읽은 후 같은 상태에있다 내가 + 1 개 문자를 하나 우리가 읽은 후 같은 상태에있을 때 나는를 우리가 두 개의 서로 다른 (임의) 상태에있을 때, 또는 우리는 무작위 상태로이 전환을 그려, 그들은 일어난 같은 것입니다. 마찬가지로 p ( i + 1 ) = 1
때 승 나는 + 1하는 것입니다 0 : 두 개의 무작위 상태, 당신은에서 시작 상관없이 받고있다.
이것으로부터 와 v를 읽은 후 같은 상태에있을 확률을 계산할 수 있다고 생각합니다 .