아주 좋은 질문입니다! “좋은”사전 분포는 “true”매개 변수에 양의 확률 또는 양의 밀도 값을 제공하는 것이 실제로 의미가 있습니다.θ0

${\theta }_0$

$\theta_0$그러나 순전히 결정적인 관점에서 이것은 반드시 그런 것은 아닙니다. 이 “직관”에 대한 간단한 반례

$$\pi(\theta_0)>0$$ 필요할 때 π( ⋅ )

$\pi (\cdot )$

$\pi(\cdot)$ 이전 밀도이며 θ0

${\theta }_0$

$\theta_0$매개 변수의 “true”값이고 Casella and Strawderman (1981) 의 뛰어난 최소값입니다 . 정규 평균을 추정 할 때μ

$\mu$

$\mu$ 단일 관찰에 기초 x ∼ N( μ , 1 )

$\mathrm{엑스}\sim \mathcal{엔}(\mu ,1)$

$x\sim{\cal N}(\mu,1)$ 추가적인 제약으로 | μ | <ρ

$|\mu |<\rho$

$|\mu|<\rho$, 만약 ρ

$\rho$

$\rho$ 충분히 작습니다 ρ ≤ 1.0567

$\rho \le 1.0567$

$\rho\le 1.0567$ 특히, minimax 추정기는 이전에 (최소한 선호) 유니폼에 해당합니다. { − ρ , ρ }

$\{-\rho ,\rho \}$

$\{-\rho,\rho\}$그 의미는 π

$\pi$

$\pi$ 같은 무게를 주다 − ρ

$-\rho$

$-\rho$ 과 ρ

$\rho$

$\rho$ (그리고 평균의 다른 값에는 해당되지 않습니다. μ

$\mu$

$\mu$)

$$\pi(\theta)=\frac{1}{2}\delta_{-\rho}(\theta)+ \frac{1}{2}\delta_{\rho}(\theta)$$
언제 ρ

$\rho$

$\rho$이전에지지가 증가하는 것을 보았지만 유한 한 값의 세트를 유지하는 것이 가장 유리한 것으로 나타났습니다. 그러나 사후 기대E [μ | x]

$\mathbb{이자형}[\mu |\mathrm{엑스}]$

$\mathbb{E}[\mu|x]$에 가치를 가질 수 있습니다 ( − ρ , ρ )

$(-\rho ,\rho )$

$(-\rho,\rho)$.

논의의 핵심은 (의견 참조) 베이 즈 추정기가
π( ⋅ )

$\pi (\cdot )$

$\pi(\cdot)$, 속성이 상당히 다릅니다.

유사하게, 허용 가능한 추정기를 고려할 때, 소형 세트에 대해 적절한 이전과 관련된 Bayes 추정기는 일반적으로 허용되지만 제한적인 지원이 있습니다.

두 경우 모두, 빈번주의 개념 (최소 또는 허용)은 매개 변수의 "참"값 (질문 4에 대한 답을 제공함)이 아닌 가능한 매개 변수 범위에 걸쳐 정의됩니다.

$$\int_\Theta L(\theta,\delta) \pi(\theta|x)\text{d}\theta$$
또는 베이 즈 위험

$$\int_{\cal X}\int_\Theta L(\theta,\delta) \pi(\theta)f(x|\theta)\text{d}\theta\text{d}x$$
진정한 가치를 포함하지 않습니다 θ0

${\theta }_0$

$\theta_0$.

또한, 위의 예에서 지적한 것처럼 Bayes 추정기가 사후 평균과 같은 공식적인 표현으로 정의 된 경우

$$\hat{\theta}^\pi(x)=\int_\Theta \theta\pi(\theta|x)\text{d}\theta$$
2 차 (또는 2 차) 엘2

${엘}_2$

$L_2$) 손실,이 견적자는 π

$\pi$

$\pi$ 이 지원이 볼록하지 않은 경우.

따로 읽을 때

실제 θ가 데이터를 생성하려면 (즉, "존재"), θ는 π 아래에서 가능한 변동이어야합니다. 예를 들어, 0이 아닌 확률, 0이 아닌 밀도를 가짐

나는 그것이 이전의 의미를 잘못 표현한 것으로 간주한다. 이전 분포는 모수 값을 본 실제 물리적 (또는 실제) 메커니즘을 나타내지 않아야합니다.θ0

${\theta }_0$

$\theta_0$ 에서 생성 π

$\pi$

$\pi$ 관찰 엑스

$\mathrm{엑스}$

$x$ 에서 생성 에프( x |θ0)

$\mathrm{에프}(\mathrm{엑스}|{\theta }_0)$

$f(x|\theta_0)$. 사전은 매개 변수 공간에 대한 참조 측정으로, 매개 변수에 대한 사전 정보와 주관적인 신념을 통합하며 결코 고유하지 않습니다. 베이지안 분석은 항상이 베이지안 분석을 수행하기 위해 이전에 선택한 것과 관련이 있습니다. 따라서 진정한 매개 변수가 다음을 지원하는 데 절대적으로 필요한 것은 아닙니다.π

$\pi$

$\pi$. 이 지원이 컴팩트하게 연결된 세트 인 경우,ㅏ

$\mathcal{ㅏ}$

${\mathscr A}$집합 외부의 매개 변수 값 ㅏ

$\mathcal{ㅏ}$

${\mathscr A}$ 사후 평균으로 일관되게 추정 할 수 없음 θ^π

${\hat{\theta }}^{\pi }$

$\hat{\theta}^\pi$ 그러나 이것은 추정기가 허용되는 것을 방해하지도 않습니다.

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