랜덤 변수의 의존성과 랜덤 변수의 기능에 대해 말할 수 있습니까? 예를 들어
는
?
답변
다음은 약간의 왜곡으로 @cardinal의 주석에 대한 증거입니다. 만약 와 F ( X ) 되어 독립적 인 다음
P ( X ∈ ∩ F – 1 ( B ) ) = P ( X ∈ , F ( X ) ∈ B )
A=f–1(B)를
취하면 방정식
P(f(X)∈B)=P(f(X)∈B)2,
이는 두 용액을 0과 1 갖는다 따라서P(F(X를)
모두 B . 완전한 일반성으로는 더 이상 말할 수 없습니다. 경우 X 및 F ( X는 ) 무관하고 f를 ( X는 ) 어떤 위해 이러한 변수 등이며 B 가의 하나 인 B 이상에서 B의 C , 예를 자세히 말 한 필요 이상의 가정과 확률 1. 그 싱글 세트 { b } 는 측정 가능하다.
그러나 측정 이론 수준의 세부 사항은 OP의 주요 관심사 인 것으로 보이지 않습니다. 경우 진짜이고 F는 실제 함수이다 (우리가 사용 보렐 σ -algebra, 말), 다음 촬영 B = ( – ∞ , B는 ] 이 분포에 대한 분포 함수 것을 다음 f는 ( X ) 만 소요 값 0과 1이므로 b 가 0 에서 1로 점프 하고 P ( f ( X ) = b ) = 1 인 b가 있습니다.
.
하루가 끝나면 OPs 질문에 대한 대답은 와 f ( X ) 는 일반적으로 매우 특수한 상황에서 독립적이며 독립적입니다. 또한 Dirac 측정 값 δ f ( x )는 항상 X = x가 주어지면 f ( X ) 의 조건부 분포에 적합합니다 . 이는 X = x 를 아는 경우 공식적으로 f ( X ) 를 알고 있다는 공식적인 방법입니다
입니다. 변성 조건부 분포를 갖는 이러한 특수한 의존성은 랜덤 변수의 함수에 특징적입니다.
답변
보조 정리 :하자 확률 변수하고하자 F가 되도록 (보렐 측정) 함수일 X 및 F ( X는 ) 독립적이다. 그러면 f ( X ) 는 거의 확실합니다. 즉, 일부가 ∈ R 되도록 P ( f는 ( X ) = ) = 1 .
증거는 다음과 같습니다. 그러나 먼저 몇 가지 언급이 있습니다. Borel 측정 가능성은 합리적이고 일관된 방식으로 확률을 할당 할 수있는 기술적 조건 일뿐입니다. “거의 확실하다”는 또한 기술 일뿐입니다.
정리의 본질은 만약 우리가 와 f ( X ) 가 독립적 이기를 원한다면 , 우리의 유일한 후보는 f ( x ) = a 형식의 함수들이라는 것 입니다.
Contrast this with the case of functions
such that
and
are uncorrelated. This is a much, much weaker condition. Indeed, consider any random variable
with mean zero, finite absolute third moment and that is symmetric about zero. Take
, as in the example in the question. Then 이므로 X 와 f ( X ) = X 2 는 서로 관련이 없습니다.
아래에서 나는 정리에 대한 가장 간단한 증거를 제시합니다. 모든 세부 사항을 최대한 명확 하게하기 위해 매우 장황 하게 만들었습니다 . 누구든지 그것을 개선하거나 단순화하는 방법을 알게되면, 나는 즐겁게 알고 있습니다.
증거의 아이디어는 우리가 알고있는 경우 직관적으로, , 우리는 알고 F ( X을 ) . 그래서 우리는 몇 가지 이벤트 찾을 필요가 σ ( X ) 에 의해 생성 된 시그마 대수 X 에 대한 우리의 지식에 관한 것으로, X를 의에 F ( X을 ) . 그런 다음 해당 정보를 X 와 f ( X )의 독립으로 가정 하여 사용 가능한 f에 대한 선택 이 심각하게 제한되었음을 보여줍니다 .
표제어 증명 : 리콜 및 Y가 독립적 인 경우에만 모든 경우 ∈ σ ( X ) 및 B ∈ σ ( Y ) , P ( X ∈ , Y ∈ B ) = P ( X ∈ ) P ( Y ∈ B ) . 하자 Y = F ( X ) 일부 보렐 측정 기능에 대한 F를
such that
and
are independent. Define
. Then,
and since
is a Borel set and
is Borel-measurable, then
is also a Borel set. This implies that
(by definition(!) of
).
Since
and
are assumed independent and
, then
and this holds for all
. But, by definition of
Combining these last two, we get that for every
,
so
or
. This means there must be some constant
such that the distribution function of
jumps from zero to one at
. In other words,
almost surely.
NB: Note that the converse is also true by an even simpler argument. That is, if
almost surely, then
and
are independent.