TL; DR :
비트와 코인의 뚜렷한 대조는 코인의 경우 결과 의 순서 를 무시 한다는 것입니다. HHHHTTTT는 TTTTHHHH와 동일하게 취급됩니다 (둘 다 4 개의 머리와 4 개의 꼬리가 있습니다). 그러나 비트 단위에서는 순서에 신경을 씁니다 (256 개의 결과를 얻으려면 비트 위치에 “가중치”를 제공해야 함). 11110000은 00001111과 다릅니다.

더 긴 설명 :
문제를 좀 더 정식화 할 때 이러한 개념을보다 정확하게 통일 할 수 있습니다. 실험은 이분법적인 결과와 “성공”0.5 및 “실패”0.5의 확률을 갖는 8 번의 시험의 연속으로 간주되며 시험은 독립적입니다. 일반적으로이 성공, 총 시행 횟수 및 실패라고하며 성공 확률은 입니다.n n – k p케이

$k$엔

$n$n – k

$n-k$피

$p$

• 코인 예제에서 결과 ” heads, tails”는 시행 순서를 무시합니다 (4 개의 헤드는 발생 순서에 상관없이 4 개의 헤드 임). 그러면 4 개의 헤드가 0보다 높을 가능성이 높습니다. 8 헤드. 4 개의 헤드는 다른 수보다 4 개의 헤드 (TTHHTTHH 또는 HHTTHHTT 등)를 만드는 방법이 많기 때문에 더 일반적입니다 (8 개의 헤드에는 하나의 시퀀스 만 있음). 이항 정리는 이러한 다양한 구성을 수행하는 여러 가지 방법을 제공합니다.n – kk

  $k$

  $k$n−k

  $n-k$

  $n-k$

• 대조적으로, 각 장소는 관련된 “무게”또는 “장소 값”을 가지므로 순서는 비트에 중요합니다. 이항 계수의 한 가지 특성은 . 즉, 다른 순서가 지정된 모든 시퀀스를 세면 됩니다. 이것은 이항 실험 에서 헤드 를 얼마나 많은 다른 방법 으로 다른 바이트 시퀀스의 수로 연결하는지에 대한 아이디어를 직접 연결합니다 .2n=∑nk=0(nk)

  $2^n=\sum _{k=0}^n(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})$

  $2^n=\sum_{k=0}^n\binom{n}{k}$k n28=256

  $2^8=256$

  $2^8=256$k

  $k$

  $k$n

  $n$

  $n$

• 또한 독립성에 의해 256 개의 결과가 동등하게 나타날 수 있음을 보여줄 수 있습니다. 이전 시험은 다음 시험에 영향을 미치지 않으므로 특정 주문의 확률은 일반적으로 (독립 사건의 공동 확률은 확률의 곱이므로). 시험은 공정하기 때문에 표현식은 . 모든 순서는 동일한 확률을 갖기 때문에, 우리는이 결과에 대해 균일 한 분포를 갖습니다 (이진 인코딩에 의해 에서 정수로 표현 될 수 있음 ). P ( 성공 ) = P ( 실패 ) = p = 0.5 P ( 모든 순서 ) = 0.5 8 = 1pk(1−p)n−k

  $p^k(1-p{)}^{n-k}$

  $p^k(1-p)^{n-k}$P(success)=P(fail)=p=0.5

  $P(\text{success})=P(\text{fail})=p=0.5$

  $P(\text{success})=P(\text{fail})=p=0.5$ [0,255]P(any ordering)=0.58=1256

  $P(\text{any ordering})={0.5}^8=\frac{1}{256}$

  $P(\text{any ordering})=0.5^8=\frac{1}{256}$[0,255]

  $[0,255]$

  $[0,255]$

• 마지막으로이 전체 원을 다시 동전 던지기와 이항 분포로 되돌릴 수 있습니다. 우리는 0 헤드의 발생이 4 헤드와 같은 확률을 갖지 않는다는 것을 알고 있으며, 이는 4 헤드의 발생을 주문하는 방법이 다르기 때문에 이러한 순서의 수는 이항 정리에 의해 주어진다는 것입니다. 따라서 가중치를 부여해야합니다. 특히 이항 계수로 가중치를 부여해야합니다. 따라서 이항 분포의 PMF, 됩니다. 이 표현이 PMF라는 것은 놀라운 일이 될 수 있습니다. 특히 그것이 1의 합이라는 것을 즉시 알 수 없기 때문입니다. 확인하려면P ( k  성공 ) = ( nP(4 heads)

  $P(\text{4 heads})$

  $P(\text{4 heads})$∑ n k = 0 ( nP(k successes)=(nk)pk(1−p)n−k

  $P(k\text{ successes})=(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})p^k(1-p{)}^{n-k}$

  $P(k \text{ successes})=\binom{n}{k}p^k(1-p)^{n-k}$1=1n=(p+1−p)n=∑ n k = 0 ( n∑nk=0(nk)pk(1−p)n−k=1

  $\sum _{k=0}^n(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})p^k(1-p{)}^{n-k}=1$

  $\sum_{k=0}^n \binom{n}{k}p^k(1-p)^{n-k}=1$그러나 이것은 이항 계수의 문제 일뿐입니다. .1=1n=(p+1−p)n=∑nk=0(nk)pk(1−p)n−k

  $1=1^n=(p+1-p{)}^n=\sum _{k=0}^n(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})p^k(1-p{)}^{n-k}$

  $1=1^n=(p+1-p)^n=\sum_{k=0}^n \binom{n}{k}p^k(1-p)^{n-k}$

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