증명 / 반증 다음 \ BBB E

증명 / 반증

E[1A|Ft]=0 or 1 a.s. E[1A|Fs]=E[1A|Ft] a.s.


필터링 확률 공간이 주어 ,하자 .

(Ω,F,{Fn}nN,P)

AF

가정 이 따릅니 까 그무엇에 대한 ?

tN s.t. E[1A|Ft]=1 a.s.

E[1A|Fs]=E[1A|Ft] a.s. s>t ?

s<t

대신아니면

tN s.t. E[1A|Ft]=0 a.s. ?

E[1A|Ft]=p a.s. for some p(0,1) ?


내가 시도한 것 :


만약 다음 \ BBB E [1_A] = 1 와 동일 1_A = 1 (거의 확실). 이 경우 각 s 에 대해 \ Bbb E [1_A | \ mathscr F_s] = 1 (거의 확실합니다)입니다 .E [ 1 A ] = 1 1 A = 1 E [ 1 A | F s ] = 1

E[1A|Ft]=1

E[1A]=1

1A=1

E[1A|Fs]=1

s

마찬가지로, 만약 , 다음 와 동일 (거의 확실). 이 경우 각 에 대해 (거의 확실합니다) .E [ 1 A ] = 0 1 A = 0 E [ 1 A | F s ] = 0 s

E[1A|Ft]=0

E[1A]=0

1A=0

E[1A|Fs]=0

s

만약 , 일정에 대한 , 그 다음 우리가p ( 0 , 1 )

E[1A|Ft]=p

p(0,1)

s > t

E[1A|Fs]=E[E[1A|Ft]|Fs]=E[p|Fs]=p

. 이면 실패 할 수 있습니다 .

s>t

대안으로 경우 :

=p

하자 한정된 수 -measurable 확률 변수.F t

F

Ft

E[1AF]=E[E[1AF|Ft]]=E[FE[1A|Ft]]

=E[pF]=pE[F]=E[1A]E[F]

즉 와 독립적이다. 즉, 와 는 독립적입니다. 따라서 이므로 및 는 독립적 이므로 입니다. 이면 실패 할 수 있습니다 . F σ

1A

F

F t σ ( A ) F s s < t E [ 1 A | F s ] = E [ 1 A ] = p s > t

σ(A)

Ft

σ(A)

Fs

s<t

E[1A|Fs]=E[1A]=p

s>t

상수는 및 -measurable 과 독립적F

Fs

Fs

이라는 아이디어가 있습니다.



답변

당신의 주장은 유효 해 보이지만, 당신은 입니다. 그러나이 질문은 , 임의 변수 은 세트 값을 취합니다. 즉 여기서 입니다. 이 조건부 기대의 정의 특성은 모든 대해 입니다 . 특히, 취 하면 , 여기서E [ 1 A | F t ] { 0 , 1 } 1 A d P F F t F = B P ( B )

E[1A|Ft]=1

E[1A|Ft]{0,1}

{ 0 , 1 } E [ 1 A | F t ] = 1 B B F tF 1 B d P = F

E[1A|Ft]

{0,1}

E[1A|Ft]=1B

BFt

F1BdP=F1AdP

FFt

F=B

B A E [ E [ 1 A | F t ] ] = E [ 1 B ] P ( A ) = P ( B ) A = B

P(B)=P(AB)

BA

(가능성 가능성이 0 인 경우 제외). 그러나 우리는 (당신이 작성한 논증에서와 같이) 즉 이므로 가능한 결론은 (확률이 0 인 경우 제외)입니다.

E[E[1A|Ft]]=E[1B]

P(A)=P(B)

A=B

대한 , 조건부 기대의 타워 법이 의미하는 그래서 . 그러나 이므로 . 따라서 대한 모든 조건부 기대 값은 같습니다 . 대한 , 경우 우리는 여전히해야합니다 . 반면에 가 없는 시간으로 돌아 가면 아무 말도 할 수 없다고 생각합니다F tF s E [ 1 A | F t ] = E [ E [ 1 A | F t ] | A F s E [ 1 A | F s ] = 1 A A

s>t

FtFs

E[ 1 A | F t ]= 1 A E[ 1 A | F s ]= 1 A s>t 1 A s<t

E[1A|Ft]=E[E[1A|Ft]|Fs]

E[1A|Ft]=1A

E[1A|Fs]=1A

s>t

1A

s<t

AFs

E[1A|Fs]=1A

A

E[ 1 A | F s ]A={ ω 2 } F 2 F 1 E[ 1 A | F 0 ]= 1

Fs

E[1A|Fs]

일반적으로 . 구체적인 예는 그림 1 의이 백서를 참조하십시오. 예를 들어 하면 조건부 기대치 시퀀스 , , , .

A={ω2}F2F1

E[1A| F1]=1

E[1A|F0]=181Ω

E[1A| F2]=1{ω2}E[1A|

E[1A|F1]=121{ω1,ω2}

E[1A|F2]=1{ω2}

E[1A|F3]=1{ω2}


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