에서 확률 적 모델링에 소개 핀 스키와은 Karlin (2011)에 의해 :

π = ( 1

P=∥∥∥0110∥∥∥

$$\mathbf{P}=\Vert \begin{array}{cc}0& 1\\ 1& 0\end{array}\Vert$$

$$\mathbf{P}=\left\|\begin{matrix}0 & 1\\1 & 0\end{matrix}\right\|$$ (1π=(12,12)

$\pi =(\frac{1}{2},\frac{1}{2})$

$\pi=\left(\frac{1}{2},\frac{1}{2}\right)$

(12,12)∥∥∥0110∥∥∥=(12,12)

$$(\frac{1}{2},\frac{1}{2})\Vert \begin{array}{cc}0& 1\\ 1& 0\end{array}\Vert =(\frac{1}{2},\frac{1}{2})$$

$$\left(\frac{1}{2},\frac{1}{2}\right)\left\|\begin{matrix}0 & 1\\1 & 0\end{matrix}\right\|=\left(\frac{1}{2},\frac{1}{2}\right)$$

이전 섹션에서는 이미 다음과 같이 ” 제한 확률 분포 ” 를 정의 했습니다.π

$\pi$

limn→∞P(n)ij=πj for j=0,1,…,N

$$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{P}_{ij}^{(n)}={\pi }_j\mathrm{f}\mathrm{o}\mathrm{r}j=0,1,\dots ,N$$

$$\lim_{n\rightarrow\infty}P_{ij}^{(n)}=\pi_j~\mathrm{for}~j=0,1,\dots,N$$

그리고 동등하게

limn→∞Pr{Xn=j|X0=i}=πj>0 for j=0,1,…,N

$$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\mathrm{Pr}\{X_n=j|X_0=i\}={\pi }_j>0\mathrm{f}\mathrm{o}\mathrm{r}j=0,1,\dots ,N$$

$$\lim_{n\rightarrow\infty}\operatorname{Pr}\{X_n=j|X_0=i\}=\pi_j>0~\mathrm{for}~j=0,1,\dots,N$$ (p. 165).

위의 예제는 결정적으로 진동하므로 시퀀스에 한계가없는 것과 같은 방식 으로 한계가 없습니다.{1,0,1,0,1,…}

$\{1,0,1,0,1,\dots\}$

그들은 정기적 인 Markov 체인 (모든 n- 단계 전이 확률이 긍정적 인)은 항상 제한적인 분포를 가지고 있으며 그것이 고유 한 음이 아닌 솔루션이어야 함을 증명합니다

πj=∑k=0NπkPkj,  j=0,1,…,N,∑k=0Nπk=1

$$\begin{gathered} {\pi }_j=\sum _{k=0}^N{\pi }_k{P}_{kj},j=0,1,\dots ,N, \\ \sum _{k=0}^N{\pi }_k=1 \end{gathered}$$

$$\pi_j=\sum_{k=0}^N\pi_kP_{kj},~~j=0,1,\dots,N,\\ \sum_{k=0}^N\pi_k=1$$ (p. 168 )

그런 다음 예제와 같은 페이지에

(4.27)을 만족하는 모든 세트 고정 확률 분포 라고합니다. Pr { X 0 = i } = π i Pr { X n = i } = π i n = 1 , 2 , …(πi)∞i=0

$({\pi }_i{)}_{i=0}^{\mathrm{\infty }}$

$(\pi_i)_{i=0}^{\infty}$ Markov 체인의 . “고정”이라는 용어는 고정 분포에 따라 Markov 체인이 시작된 특성에서 모든 시점에이 분포를 따릅니다. 공식적으로 인 경우 모든 대해 입니다 .Pr{X0=i}=πi

$\mathrm{Pr}\{X_0=i\}={\pi }_i$

$\operatorname{Pr}\{X_0=i\}=\pi_i$Pr{Xn=i}=πi

$\mathrm{Pr}\{X_n=i\}={\pi }_i$

$\operatorname{Pr}\{X_n=i\}=\pi_i$n=1,2,…

$n=1,2,\dots$

$n=1,2,\dots$

여기서 (4.27)은 방정식 세트입니다.

πi≥0,∑i=0∞πi=1, and πj=∑i=0∞πiPij.

$${\pi }_i\ge 0,\sum _{i=0}^{\mathrm{\infty }}{\pi }_i=1,\mathrm{a}\mathrm{n}\mathrm{d}{\pi }_j=\sum _{i=0}^{\mathrm{\infty }}{\pi }_i{P}_{ij}.$$

$$\pi_i \geq 0, \sum_{i=0}^{\infty} \pi_i=1,~\mathrm{and}~\pi_j = \sum_{i=0}^{\infty} \pi_iP_{ij}.$$

이는 현재 무한한 수의 상태를 제외하고는 위와 동일한 고정 상태입니다.

이 정상 성의 정의를 사용하면 168 페이지의 명령문을 다음과 같이 소급해서 다시 정리할 수 있습니다.

1. 정규 Markov 체인의 제한 배포는 고정 배포입니다.
2. Markov 체인의 제한 배포가 고정 배포 인 경우 고정 배포는 고유합니다.

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