손으로 선형 혼합 모델에서 랜덤 효과 예측을 계산하려고 시도하고 Generalized Additive Models 에서 Wood가 제공 한 표기법을 사용하여 R (pg 294 / pg 307 of pdf)을 사용하여 각 매개 변수에 대해 혼란스러워합니다. 나타냅니다.

아래는 Wood의 요약입니다.

선형 혼합 모형 정의

$$Y = X\beta + Zb + \epsilon$$

여기서 b ∼

$\sim$ N (0, ) 및 N (0, )ϵ ∼ σ 2ψ

$\psi$ϵ ∼

$\epsilon \sim$σ2

$\sigma^{2}$

b와 y가 공동 정규 분포를 갖는 임의의 변수 인 경우

$$\begin{align*} \begin{bmatrix} b\\ y \end{bmatrix} &\sim N \begin{bmatrix} \begin{bmatrix} 0\\ X\beta \end{bmatrix}\!\!,& \begin{bmatrix} \psi & \Sigma_{by} \\ \Sigma_{yb}& \Sigma_{\theta}\sigma^{2} \end{bmatrix} \end{bmatrix}\\ \end{align*}$$

RE 예측은 다음과 같이 계산됩니다.

$$\begin{align*} E[b \mid y] &= \Sigma_{by} \Sigma_{yy}^{-1} (y - x\beta)\\ &= \Sigma_{by}\Sigma_{\theta}^{-1}(y - x \beta) / \sigma^{2}\\ &= \psi z^{T}\Sigma_{\theta}^{-1} (y - x \beta) / \sigma^{2} \end{align*}$$

여기서Σθ= Zψ Z티/ σ2+ 나엔

$\Sigma_{\theta} = Z\psi Z^{T} /\sigma^{2} + I_{n}$

lme4R 패키지 의 무작위 절편 모델 예제를 사용하여 출력을 얻습니다.

library(lme4)
m = lmer(angle ~ temp + (1 | replicate), data=cake)
summary(m)

% Linear mixed model fit by REML ['lmerMod']
% Formula: angle ~ temp + (1 | replicate)
%    Data: cake
%
% REML criterion at convergence: 1671.7
%
% Scaled residuals:
%      Min       1Q   Median       3Q      Max
% -2.83605 -0.56741 -0.02306  0.54519  2.95841
%
% Random effects:
%  Groups    Name        Variance Std.Dev.
%  replicate (Intercept) 39.19    6.260
%  Residual              23.51    4.849
% Number of obs: 270, groups:  replicate, 15
%
% Fixed effects:
%             Estimate Std. Error t value
% (Intercept)  0.51587    3.82650   0.135
% temp         0.15803    0.01728   9.146
%
% Correlation of Fixed Effects:
%      (Intr)
% temp -0.903

그래서이에서, 나는 생각 = 23.51이 에서 추정 할 수 및 인구 수준 잔차의 광장에서.ψ

$\psi$( y− Xβ)

$(y-X\beta)$cake$angle - predict(m, re.form=NA)sigma

th = 23.51
zt = getME(m, "Zt")
res = cake$angle - predict(m, re.form=NA)
sig = sum(res^2) / (length(res)-1)

이것들을 곱하면

th * zt %*% res / sig
         [,1]
1  103.524878
2   94.532914
3   33.934892
4    8.131864
---

비교할 때 올바르지 않은

> ranef(m)
$replicate
   (Intercept)
1   14.2365633
2   13.0000038
3    4.6666680
4    1.1182799
---

왜?

답변

> psi/sig * zt %*% residuals(m)
15 x 1 Matrix of class "dgeMatrix"
         [,1]
1  14.2388572
2  13.0020985
3   4.6674200
4   1.1184601
5   0.2581062
6  -3.2908537
7  -4.6351567
8  -4.5813846
9  -4.6351567
10 -3.1833095
11 -2.1616392
12 -1.1399689
13 -0.2258429
14 -4.0974355
15 -5.3341942