대칭 분포의 정의는 무엇입니까? 가 같은 분포를 가진 경우에만

대칭 분포의 정의는 무엇입니까? 누군가 와 가 같은 분포를 가진 경우에만 임의의 변수 $X$

엑스

$X$ 가 대칭 분포에서 나온다고 나에게 말했습니다 . 그러나 나는이 정의가 부분적으로 사실이라고 생각합니다. 및 과 같은 반례를 제시 할 수 있기 입니다. 분명히, 그것은 대칭 분포를 가지고 있지만 와 는 다른 분포를 가지고 있습니다! 내가 맞아? 이 질문에 대해 생각해 본 적이 있습니까? 대칭 분포의 정확한 정의는 무엇입니까? $X$

엑스

$X$ $- X$

- 엑스

$-X$ $X \sim N (μ, σ^{2})$

엑스 \sim 엔 (μ, σ^{2})

$X\sim N(\mu,\sigma^{2})$ $μ \neq 0$

μ \neq 0

$\mu\neq0$ $X$

엑스

$X$ $- X$

- 엑스

$-X$

답변

간단히 : 는 와 가 실수 대해 같은 분포를 가질 때 대칭 입니다. $X$

$엑스$
$X$ $X$
$엑스$
$X$ $2 a - X$
$2 ㅏ - 엑스$
$2a-X$ $a$

$ㅏ$

$a$ 그것은 많은 암시 적 질문을 제기 있기 때문에 완전히 정당화 방식이에 도착하는 것은 약간의 여담과 일반화가 필요합니다 왜 이 “대칭”의 정의? 다른 종류의 대칭이있을 수 있습니까? 분포와 대칭 사이의 관계는 무엇입니까? 반대로 “대칭”과 해당 대칭이있을 수있는 분포 사이의 관계는 무엇입니까?

문제의 대칭은 실제 선의 반영입니다. 모든 형태입니다

엑스 \to 2 ㅏ - 엑스

$x \to 2a-x$

일부 상수 . $a$

ㅏ

$a$

따라서 에 적어도 하나의 대한 대칭이 있다고 가정 . 그러면 대칭은 암시합니다 $X$

엑스

$X$ $a$

ㅏ

$a$

홍보 [엑스 \geq ㅏ] = 홍보 [2 ㅏ - 엑스 \geq ㅏ] = 홍보 [엑스 \leq ㅏ]

$\Pr[X \ge a] = \Pr[2a-X \ge a] = \Pr[X \le a]$

보여주는 A는 중간 의 . 마찬가지로 에 기대 값이 있으면 바로 다음에옵니다 . 따라서 우리는 일반적으로 아래로 고정 할 수 있습니다 쉽게. 심지어하지 않을 경우 (가 전혀 존재하는 경우) (따라서 대칭 자체는) 아직 유일하게 결정된다. $a$

ㅏ

$a$ $X$

엑스

$X$ $X$

엑스

$X$ $a = E [X]$

ㅏ = 이자형 [엑스]

$a = E[X]$ $a$

ㅏ

$a$ $a$

$ㅏ$

$a$

이것을 보려면 를 대칭 중심 이라고합시다 . 그런 다음 두 가지 대칭을 모두 적용 하면 변환 에서 가 변하지 않는 것을 볼 수 있습니다. 경우 의 분포 기간 있어야 주기적인 분포의 총 확률이 하나이기 때문에 불가능 또는 무한. 따라서 은 가 고유함을 나타냅니다. $b$

비

$b$ $X$

엑스

$X$ $x \to x + 2 (b - a)$

엑스 \to 엑스 + 2 (비 - ㅏ)

$x \to x + 2(b-a)$ $b - a \neq 0$

비 - ㅏ \neq 0

$b-a \ne 0$ $X$

엑스

$X$ $b - a$

비 - ㅏ

$b-a$ $0$

0

$0$ $b - a = 0$

비 - ㅏ = 0

$b-a=0$ $a$

ㅏ

$a$

더 일반적으로, 때 진짜 라인에 충실하게 행동하는 그룹이 (그리고 모든 보렐 부분 집합의 확장에 의해), 우리는 유통 말할 수 (에 대한 “대칭”입니다 경우) $G$

지

$G$ $X$

엑스

$X$ $G$

지

$G$

홍보 [엑스 \in 이자형] = 홍보 [엑스 \in {이자형}^{지}]

$\Pr[X \in E] = \Pr[X \in E^g]$

모든 측정 세트 및 요소 , 이미지이고 작용 하에서 . $E$

이자형

$E$ $g \in G$

지 \in 지

$g \in G$ $E^{g}$

{이자형}^{지}

$E^g$ $E$

이자형

$E$ $g$

지

$g$

예를 들어, 하자 여전히 질서의 그룹이 될 ,하지만 지금은 그 행동이 실수의 역수를 취할 수 있도록 (그리고 그것을 해결하자 ). 표준 로그 정규 분포는이 그룹과 대칭입니다. 이 예는 좌표의 비선형 재 표현이 발생한 반사 대칭의 예로 이해 될 수있다. 이는 실제 라인의 “구조”를 존중하는 변환에 중점을 둡니다. 확률에 필수적인 구조는 Borel 세트 및 Lebesgue 측정과 관련되어야하며, 두 지점 사이 의 (유클리드) 거리 로 정의 할 수 있습니다 . $G$

지

$G$ $2$

2

$2$ $0$

0

$0$

거리 보존 맵은 정의상 등거리 변환입니다. 실제 선의 모든 isometries가 반사에 의해 생성된다는 것은 잘 알려져 있습니다 (약간 조금 복잡하지만 시연하기 쉽습니다). “대칭” 이 일부 그룹의 isometries에 대해 대칭을 의미하는 것으로 이해 될 때 , 그룹은 최대 하나의 반사에 의해 생성되어야하며 반사는 그것에 대한 임의의 대칭 분포에 의해 고유하게 결정되는 것을 보았습니다 . 이런 의미에서, 앞의 분석은 철저하고 “대칭”분포의 일반적인 용어를 정당화합니다.

또한, 이소 메 트리 그룹 하에서 변하지 않는 분포 의 다변량 분포의 예 는 “구형”분포를 고려함으로써 제공된다. 이것들은 모든 회전에서 변하지 않습니다 (일부 고정 중심에 상대적). 이것들은 1 차원 경우를 일반화합니다 : 실제 선의 “회전”은 단지 반사입니다.

마지막으로, 그룹 전체에 걸친 표준 구조는 많은 양의 대칭 분포를 생성 할 수있는 방법을 제공합니다. 실수 선의 경우 , 점 에 대한 반사에 의해 가 생성 되도록하여 항등 요소 와이 반사 됩니다. 하자 BE 어떤 분포를. 설정 하여 분포 정의 $G$

지

$G$ $a$

ㅏ

$a$ $e$

이자형

$e$ $g$

지

$g$ $X$

엑스

$X$ $Y$

와이

$Y$

{홍보}_{와이} [이자형] = \frac{1}{| 지 |} \sum_{지 \in 지} {홍보}_{엑스} [{이자형}^{지}] = ({홍보}_{엑스} [이자형] + {홍보}_{엑스} [{이자형}^{지}]) / 2

${\Pr}_Y[E] = \frac{1}{|G|}\sum_{g \in G} {\Pr}_X[E^g] = ({\Pr}_X[E] + {\Pr}_X[E^g])/2$

모든 Borel 세트 . 이것은 명백히 대칭이며 분포가 유지되는지 쉽게 확인할 수 있습니다 (모든 확률은 음이 아니고 총 확률은 ). $E$

이자형

$E$ $1$

1

$1$

그룹 평균화 과정을 설명하기 위해 대칭 감마 분포 ( 중심)의 PDF는 금색으로 표시됩니다. 원래 감마는 파란색이고 반사는 빨간색입니다. $a = 2$

$ㅏ = 2$

$a=2$

답변

대답은 대칭의 의미에 따라 다릅니다. 물리학에서 대칭 개념은 기본적이고 매우 일반화되었습니다. 대칭은 시스템을 변경하지 않은 상태로 유지하는 모든 작업입니다. 확률 분포의 경우 동일한 확률 를 반환하는 모든 연산 로 변환 될 수 있습니다 . $X \to X^{'}$

X \to X^{'}

$X \to X'$ $P (X) = P (X^{'})$

P (X) = P (X^{'})

$P(X) = P(X')$

첫 번째 예의 간단한 경우 최대에 대한 반사 대칭을 참조합니다. 분포가 정현파 인 경우 조건을 가질 수 있습니다. 여기서 는 파장 또는주기입니다. 그런 다음 이고 여전히 일반적인 대칭 정의에 적합합니다. $X \to X + λ$

X \to X + λ

$X \to X + \lambda$ $λ$

λ

$\lambda$ $P (X) = P (X + λ)$

P (X) = P (X + λ)

$P(X) = P(X + \lambda)$

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