계산한다고 주장하는 Excel 시트를보고 있지만이 방법을 인식하지 못하고 뭔가 빠졌는지 궁금합니다. $χ^{2}$

χ^{2}

$\chi^2$

분석하는 데이터는 다음과 같습니다.

+------------------+----------+----------+
| Total Population | Observed | Expected |
+------------------+----------+----------+
|             2000 |       42 | 32.5     |
|             2000 |       42 | 32.5     |
|             2000 |       25 | 32.5     |
|             2000 |       21 | 32.5     |
+------------------+----------+----------+

카이 제곱을 계산하기 위해 각 그룹에서 수행하는 합계는 다음과 같습니다.

P = (sum of all observed)/(sum of total population) = 0.01625
A = (Observed - (Population * P)) ^2
B = Total Population * P * (1-P)
ChiSq = A/B

따라서 각 그룹의 는 다음과 같습니다. $χ^{2}$

χ^{2}

$\chi^2$

그리고 총 Chi Square는 다음과 같습니다 11.54139.

그러나 를 계산하는 모든 예제 는 이와 완전히 다릅니다. 나는 각 그룹에 대해 할 것입니다 : $χ^{2}$

χ^{2}

$\chi^2$

chiSq = (Observed-Expected)^2 / Expected

따라서 위의 예에서 총 카이 제곱 값은 11.3538입니다.

내 질문은-왜 엑셀 시트 에서 이런 식으로 를 계산 합니까? 이것이 인정 된 접근법입니까? $χ^{2}$

χ^{2}

$\chi^2$

업데이트 2

관심있는 사람이 있다면 R로 계산 한 방법입니다.

res <- matrix(c((2000-42), 42, (2000-42), 42, (2000-25), 25, (2000-21), 21), 2, 4)
chisq.test(res)

답변

이것은 매우 간단합니다.

이것은 분명히 이항 샘플링입니다. 그것을 보는 두 가지 방법이 있습니다.

방법 1, 스프레드 시트, 그 관측 횟수를 치료하는 것을 같은 로서 근사화 될 수 있으며, . 따라서 는 표준 표준이며 는 독립적이므로 입니다. $X_{i}$

X_{i}

$X_i$ $\sim Bin (N_{i}, p_{i})$

\sim Bin (N_{i}, p_{i})

$\sim \text{Bin}(N_i,p_i)$ $N (μ_{i} = N_{i} \cdot p_{i}, σ_{i}^{2} = N_{i} \cdot p_{i} (1 - p_{i}))$

N (μ_{i} = N_{i} \cdot p_{i}, σ_{i}^{2} = N_{i} \cdot p_{i} (1 - p_{i}))

$\text{N}(\mu_i=N_i\cdot p_i,\sigma_i^2=N_i\cdot p_i(1-p_i))$ $Z_{i} = (X_{i} - μ_{i}) / σ_{i}$

Z_{i} = (X_{i} - μ_{i}) / σ_{i}

$Z_i=(X_i-\mu_i)/\sigma_i$ $Z$

Z

$Z$ $\sum_{i} Z_{i}^{2} \sim χ^{2}$

\sum_{i} Z_{i}^{2} \sim χ^{2}

$\sum_i Z_i^2\sim \chi^2$

(p가 관측 된 수에 기반한 경우 는 독립적이지 않지만 여전히 자유도가 1 인 카이 제곱입니다.) $Z$

Z

$Z$

방법 2 : 형태의 카이-제곱도 사용할 수 있지만 ‘관측 됨’으로 분류 된 범주의 항목뿐만 아니라 해당 범주에 없는 항목 도 고려해야합니다 . $(O - E)^{2} / E$

(O - E)^{2} / E

$(O-E)^2/E$

+------------+------+-------+
| Population | In A | Not A |
+------------+------+-------+
|       2000 |   42 |  1958 |
|       2000 |   42 |  1958 |
|       2000 |   25 |  1975 |
|       2000 |   21 |  1979 |
+ -----------+------+-------+

를 Where ‘첫 번째 열에 s는 당신이 그 (것)들을 가지고 있으며, 두 번째 열에 대한 사람들이 $E$

E

$E$ $N_{i} (1 - p_{i})$

N_{i} (1 - p_{i})

$N_i(1-p_i)$

… 그리고 두 열의 합계 $(O - E)^{2} / E$

(O - E)^{2} / E

$(O-E)^2/E$

두 형태는 대수적으로 동일합니다. 참고 . 카이-제곱 의 i 행을 고려하십시오 . $1 / p + 1 / (1 - p) = 1 / p (1 - p)$

1 / p + 1 / (1 - p) = 1 / p (1 - p)

$1/p + 1/(1-p) = 1/p(1-p)$ $^{t h}$

^{t h}

$^{th}$

\begin{array}{rcl} \frac{(X_{i} - μ_{i})^{2}}{σ_{i}^{2}} & = & \frac{(X_{i} - N_{i} p_{i})^{2}}{N_{i} p_{i} (1 - p_{i})} \\ = & \frac{(X_{i} - N_{i} p_{i})^{2}}{N_{i} p_{i}} + \frac{(X_{i} - N_{i} p_{i})^{2}}{N_{i} (1 - p_{i})} \\ = & \frac{(X_{i} - N_{i} p_{i})^{2}}{N_{i} p_{i}} + \frac{(N_{i} - N_{i} + N_{i} p_{i} - X_{i})^{2}}{N_{i} (1 - p_{i})} \\ = & \frac{(X_{i} - N_{i} p_{i})^{2}}{N_{i} p_{i}} + \frac{(N_{i} - X_{i} - (N_{i} - N_{i} p_{i}))^{2}}{N_{i} (1 - p_{i})} \\ = & \frac{(X_{i} - N_{i} p_{i})^{2}}{N_{i} p_{i}} + \frac{((N_{i} - X_{i}) - N_{i} (1 - p_{i}))^{2}}{N_{i} (1 - p_{i})} \\ = & \frac{(O_{i}^{(A)} - E_{i}^{(A)})^{2}}{E_{i}^{(A)}} + \frac{(O_{i}^{(\bar{A})} - E_{i}^{(\bar{A})})^{2}}{E_{i}^{(\bar{A})}} \end{array}

$\begin{eqnarray} \frac{(X_i - \mu_i)^2}{\sigma_i^2} &=& \frac{(X_i- N_ip_i)^2}{N_ip_i(1-p_i)}\\ &=& \frac{(X_i- N_ip_i)^2}{N_ip_i} +\frac{(X_i- N_ip_i)^2}{N_i(1-p_i)}\\ &=& \frac{(X_i- N_ip_i)^2}{N_ip_i} +\frac{(N_i-N_i+N_ip_i-X_i)^2}{N_i(1-p_i)}\\ &=& \frac{(X_i- N_ip_i)^2}{N_ip_i} +\frac{(N_i-X_i-(N_i-N_ip_i))^2}{N_i(1-p_i)}\\ &=& \frac{(X_i- N_ip_i)^2}{N_ip_i} +\frac{((N_i-X_i)-N_i(1-p_i))^2}{N_i(1-p_i)}\\ &=& \frac{(O^{(A)}_i- E^{(A)}_i)^2}{E^{(A)}_i} +\frac{(O^{(\bar A)}_i-E^{(\bar A)}_i)^2}{E^{(\bar A)}_i} \end{eqnarray}$

이는 반올림 오류까지 두 가지 방법으로 동일한 대답을 가져야 함을 의미합니다.

보자 :

             Observed             Expected                 (O-E)^2/E          
  Ni        A     not A          A      not A             A           not A      
 2000     42         1958      32.5     1967.5       2.776923077     0.045870394     
 2000     42         1958      32.5     1967.5       2.776923077     0.045870394     
 2000     25         1975      32.5     1967.5       1.730769231     0.028589581     
 2000     21         1979      32.5     1967.5       4.069230769     0.067217281     

                                            Sum     11.35384615      0.187547649

카이-제곱 = 11.353846 + 0.187548 = 11.54139

그들의 답변과 일치합니다.

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