R 제곱의 흥미로운 유도 행렬 표기법을 사용하여 한 페이지짜리 증거를 제시했습니다.

몇 년 전 나는 데이터와 변형을 이용한 실험을 통해이 정체성을 발견했다. 통계 교수에게 설명을 한 후 그는 다음 수업에 벡터와 행렬 표기법을 사용하여 한 페이지짜리 증거를 제시했습니다. 불행히도 나는 그가 준 논문을 잃어 버렸다. (이것은 2007 년에 돌아 왔습니다)

누구나 증거를 재구성 할 수 있습니까?

허락하다 $(x_{i}, y_{i})$

({엑스}_{나는}, {와이}_{나는})

$(x_i,y_i)$ 원래 데이터 포인트가 되십시오. 원래 세트를 각도로 회전하여 새로운 데이터 포인트 세트 정의 $θ$

θ

$\theta$ ; 이 포인트를 불러 $(x_{i}^{'}, y_{i}^{'})$

({엑스}_{나는}^{‘}, {와이}_{나는}^{‘})

$(x'_i,y'_i)$ .

원래 점 세트의 R 제곱 값은 다음과 관련하여 도함수의 음의 곱과 같습니다. $θ$

θ

$\theta$ 새로운 점 집합의 각 좌표에 대한 표준 편차의 자연 로그의 $θ = 0$

θ = 0

$\theta=0$

$r^{2} = - ({\frac{d}{d θ} \ln (σ_{x^{'}}) |}_{θ = 0}) ({\frac{d}{d θ} \ln (σ_{y^{'}}) |}_{θ = 0})$

{아르 자형}^{2} = - ({\frac{디}{디 θ} \ln (σ_{{엑스}^{‘}}) |}_{θ = 0}) ({\frac{디}{디 θ} \ln (σ_{{와이}^{‘}}) |}_{θ = 0})

$r^2= - \left(\left.\frac{d}{d\theta}\ln(\sigma_{x'})\right|_{\theta=0} \right) \left(\left.\frac{d}{d\theta}\ln(\sigma_{y'})\right|_{\theta=0} \right)$

답변

파생은 특히 상징적 조작의 흥미로운 연습이 아닙니다. 이후,

\begin{aligned} {\frac{디 {엑스}^{‘}}{디 θ} |}_{θ = 0} & = - 와이, \\ {\frac{디 {와이}^{‘}}{디 θ} |}_{θ = 0} & = 엑스, \end{aligned}

$\begin{align} \left.\frac{dx'}{d\theta}\right|_{\theta=0}&=-y,\\ \left.\frac{dy'}{d\theta}\right|_{\theta=0}&=x, \end{align}$
과 $s_{x}^{2} = \frac{1}{n} \sum_{i = 1}^{n} (x_{i} - \bar{x})^{2}$

{에스}_{엑스}^{2} = \frac{1}{엔} \sum_{나는 = 1}^{엔} ({엑스}_{나는} - \bar{엑스})^{2}

$s_x^2=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}(x_i-\bar{x})^2$

{\frac{디 {에스}_{{엑스}^{‘}}^{2}}{디 θ} |}_{θ = 0} = - 2 {에스}_{엑스 와이}

$\left.\frac{ds_{x'}^2}{d\theta}\right|_{\theta=0}=-2s_{xy}$

{\frac{디 {에스}_{{와이}^{‘}}^{2}}{디 θ} |}_{θ = 0} = 2 {에스}_{엑스 와이}

$\left.\frac{ds_{y'}^2}{d\theta}\right|_{\theta=0}=2s_{xy}$

{\frac{디}{디 θ} \ln ({에스}_{{엑스}^{‘}}) |}_{θ = 0} = - \frac{{에스}_{엑스 와이}}{{에스}_{엑스}^{2}}, {\frac{디}{디 θ} \ln ({에스}_{{와이}^{‘}}) |}_{θ = 0} = \frac{{에스}_{엑스 와이}}{{에스}_{와이}^{2}}

$\left.\frac{d}{d\theta}\ln(s_{x'})\right|_{\theta=0} = -\frac{s_{xy}}{s_x^2},\quad \left.\frac{d}{d\theta}\ln(s_{y'})\right|_{\theta=0} = \frac{s_{xy}}{s_y^2}$ 결과는 다음과 같습니다.

나는 당신이 어떻게 그런 방정식을 내놓았는지, 특히 어떤 실험이 그런 정체성을 드러 냈는지 알고 싶습니다.

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