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내가 2 개의 결과를 가질 수있는 실험을 실행 중이고 2 개의 결과의 기본 “진정한”분포가 모수 $n$

n

$n$ 및 갖는 이항 분포라고 가정합니다 $p$

p

$p$ . $B i n o m i a l (n, p)$

B i n o m i a l (n, p)

${\rm Binomial}(n, p)$ .

표준 오류를 계산할 수 있습니다. $S E_{X} = \frac{σ_{X}}{\sqrt{n}}$

S E_{X} = \frac{σ_{X}}{\sqrt{n}}

$SE_X = \frac{\sigma_X}{\sqrt{n}}$ 의 변화의 형태로부터 $B i n o m i a l (n, p)$

B i n o m i a l (n, p)

${\rm Binomial}(n, p)$ :

σ_{X}^{2} = n p q

$\sigma^{2}_{X} = npq$
여기서, $q = 1 - p$

q = 1 - p

$q = 1-p$ . 따라서 $σ_{X} = \sqrt{n p q}$

σ_{X} = \sqrt{n p q}

$\sigma_X=\sqrt{npq}$ . 표준 오류의 경우 $S E_{X} = \sqrt{p q}$

S E_{X} = \sqrt{p q}

$SE_X=\sqrt{pq}$ 이지만 $S E_{X} = \sqrt{\frac{p q}{n}}$

S E_{X} = \sqrt{\frac{p q}{n}}

$SE_X = \sqrt{\frac{pq}{n}}$ . 내가 뭘 잘못 했어?

답변

샘플 크기와 이항 랜덤 변수를 구성하는 베르누이 시행 횟수와 같이 두 가지 방식으로 두 번 사용하는 것 같습니다 . 모호성을 없애기 위해 를 사용 하여 후자를 참조합니다. $n$

n

$n$ $k$

k

$k$

분포 에서 독립 표본 이있는 경우 표본 평균의 분산은 다음과 같습니다. $n$

n

$n$ $B i n o m i a l (k, p)$

B i n o m i a l (k, p)

${\rm Binomial}(k,p)$

v a r (\frac{1}{n} \sum_{i = 1}^{n} X_{i}) = \frac{1}{n^{2}} \sum_{i = 1}^{n} v a r (X_{i}) = \frac{n v a r (X_{i})}{n^{2}} = \frac{v a r (X_{i})}{n} = \frac{k p q}{n}

${\rm var} \left( \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} X_{i} \right) = \frac{1}{n^2} \sum_{i=1}^{n} {\rm var}( X_{i} ) = \frac{ n {\rm var}(X_{i}) }{ n^2 } = \frac{ {\rm var}(X_{i})}{n} = \frac{ k pq }{n}$

여기서 이고 는 동일한 평균입니다. 이후부터 $q = 1 - p$

q = 1 - p

$q=1-p$ $\bar{X}$

\bar{X}

$\overline{X}$

(1) , $v a r (c X) = c^{2} v a r (X)$

v a r (c X) = c^{2} v a r (X)

${\rm var}(cX) = c^2 {\rm var}(X)$ 어떤 확률 변수에 대한 , 및 임의의 상수 . $X$

X

$X$ $c$

c

$c$

(2) 독립 랜덤 변수의 합의 분산은 분산의 합과 같습니다 .

의 표준 오차 는 분산의 제곱근입니다. $\bar{X}$

\bar{X}

$\overline{X}$ . 따라서, $\sqrt{\frac{k p q}{n}}$

\sqrt{\frac{k p q}{n}}

$\sqrt{\frac{ k pq }{n}}$

일 때 지적한 공식을 얻습니다. $k = n$
$k = n$
$k = n$ $\sqrt{p q}$
$\sqrt{p q}$
$\sqrt{pq}$
때 , 그리고 이항 변수는 단지입니다 베르누이 시행은 , 당신은 당신이 다른 곳에서 본 적이 공식을 얻을 : $k = 1$
$k = 1$
$k = 1$ $\sqrt{\frac{p q}{n}}$
$\sqrt{\frac{p q}{n}}$
$\sqrt{\frac{pq }{n}}$

답변

두 개의 이항 분포를 혼동하기 쉽습니다.

성공 횟수 분포
성공 비율의 분포

npq는 성공 횟수이고 npq / n = pq는 성공 비율입니다. 이로 인해 표준 오차 공식이 달라집니다.

답변

우리는 이것을 다음과 같은 방식으로 볼 수 있습니다 :

$n$

n

$n$ $Y$

Y

$Y$ $Y = \sum_{i = 1}^{n} X_{i}$

Y = \sum_{i = 1}^{n} X_{i}

$Y = \sum_{i=1}^n X_i$ $X_{i}$

X_{i}

$X_i$

$X_{i}$

X_{i}

$X_i$ $Y$

Y

$Y$

Y

$Y$ $Y$

Y

$Y$

$p q$

p q

$pq$ $p$

p

$p$ $q = 1 - p$

q = 1 - p

$q = 1 – p$

이제, 우리는의 차이를 보면 , . 그러나 모든 개별 Bernoulli 실험에 대해 입니다. 이 때문에 실험에서 토스 또는 베르누이 시행 . 이는 에 분산 가 있음을 의미합니다 . $Y$

Y

$Y$ $V (Y) = V (\sum X_{i}) = \sum V (X_{i})$

V (Y) = V (\sum X_{i}) = \sum V (X_{i})

$V(Y) = V(\sum X_i) = \sum V(X_i)$ $V (X_{i}) = p q$

V (X_{i}) = p q

$V(X_i) = pq$ $n$

n

$n$ $V (Y) = \sum V (X_{i}) = n p q$

V (Y) = \sum V (X_{i}) = n p q

$V(Y) = \sum V(X_i) = npq$ $Y$

Y

$Y$ $n p q$

n p q

$npq$

이제 샘플 비율은 주어지며 , 이는 ‘성공 또는 헤드의 비율’을 제공합니다. 여기서 은 모집단의 모든 실험에 대해 동일한 동전 던지기를 계획하지 않기 때문에 상수입니다. $\hat{p} = \frac{Y}{n}$

\hat{p} = \frac{Y}{n}

$\hat p = \frac Y n$ $n$

n

$n$

따라서 입니다. $V (\frac{Y}{n}) = (\frac{1}{n^{2}}) V (Y) = (\frac{1}{n^{2}}) (n p q) = p q / n$

V (\frac{Y}{n}) = (\frac{1}{n^{2}}) V (Y) = (\frac{1}{n^{2}}) (n p q) = p q / n

$V(\frac Y n) = (\frac {1}{n^2})V(Y) = (\frac {1}{n^2})(npq) = pq/n$

따라서, (표본 통계량)의 표준 오차 는 $\hat{p}$

\hat{p}

$\hat p$ $\sqrt{p q / n}$

\sqrt{p q / n}

$\sqrt{pq/n}$

답변

표준 오류와 표준 편차 사이의 초기 게시물에도 약간의 혼란이 있다고 생각합니다. 표준 편차는 분포 분산의 sqrt입니다. 표준 오차는 해당 분포에서 표본의 추정 평균의 표준 편차, 즉 표본을 무한정 여러 번 수행 한 경우 관찰 할 평균의 확산입니다. 전자는 분포의 고유 속성입니다. 후자는 분포의 특성 (평균) 추정치의 품질을 측정 한 것입니다. 알 수없는 성공 확률을 추정하기 위해 N Bernouilli 시행을 실험 할 때 k 성공을 본 후 추정 된 p = k / N의 불확실성은 추정 비율 sqrt (pq / N)의 표준 오차입니다. 여기서 q = 1 -피. 실제 분포는 성공 확률 인 모수 P를 특징으로합니다.

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이항 랜덤 변수의 표본 평균에 대한 표준 오차 수 있습니다. 에스이자형엑스= σ엑스엔√SEX=σXnSE_X = \frac{\sigma_X}{\sqrt{n}}

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