도전

N0과 M포괄적 인 정수 의 튜플을 상상해 봅시다 F.

있습니다 (M + 1) ** N가능한 F총들.

F다음의 모든 부등식을 모두 충족 하는 그러한 요소는 몇 개입니까 (인덱스는 1 기준)?

• F[n] + F[n+1] <= M …에 대한 1 <= n < N
• F[N] + F[1] <= M

두 취하는 함수 작성 프로그램 또는 양의 정수를 N 그리고 M어떤 편리한 형태로 응답을 출력한다.

테스트 사례

(N,M) => Answer

(1,1) => 1
(2,1) => 3
(3,1) => 4
(4,1) => 7

(1,2) => 2
(2,2) => 6
(3,2) => 11
(4,2) => 26

(10,3) => 39175
(10,4) => 286555
(10,5) => 1508401

(25,3) => 303734663372
(25,4) => 43953707972058
(25,5) => 2794276977562073

(100,3) => 8510938110502117856062697655362747468175263710
(100,4) => 3732347514675901732382391725971022481763004479674972370
(100,5) => 60964611448369808046336702581873778457326750953325742021695001

설명

M (max value of element) = 1

F[1] + F[1] <= 1; F = [0]
(1,1) => 1

F[1] + F[2] <= 1; F = [0,0], [0,1], [1,0]
(2,1) => 3

F = [0,0,0], [0,0,1], [0,1,0], [1,0,0]
(3,1) => 4

F = [0,0,0,0], [0,0,0,1], [0,0,1,0], [0,1,0,0], [0,1,0,1], [1,0,0,0], [1,0,1,0]
(4,1) => 7

---

M = 2

F[1] + F[1] <= 2; F = [0], [1]
(1,2) => 2

F = [0,0], [0,1], [0,2], [1,0], [1,1], [2,0]
(2,2) => 6

F = [0,0,0], [0,0,1], [0,0,2], [0,1,0], [0,1,1], [0,2,0], [1,0,0], [1,0,1],
[1,1,0], [1,1,1], [2,0,0]
(3,2) => 11

(4,2) => 26 (left as exercise for you)

규칙

• 이것은 복잡한 문제입니다. 코드의 시간 복잡도는 다항식해야 M하고N (모든 생성 할 수 없습니다 예 (M + 1) ** N튜플을 한 후 상태를 확인). 제출시 귀하의 접근 방식을 설명하십시오.
• 표준 코드 골프 규칙이 적용됩니다. 바이트 단위의 최단 답변이 이깁니다.

답변

lambda M,N:trace(mat(tri(M+1)[::-1])**N)
from numpy import*

.N?Ys:RTtYh-QNgQ+NTs:Rdtszh

M
N

.N          | define memoized fill(left, right, gap):
?           | if cap > 0 then
s:RTtY      | sum(fill(i, right, gap - 1)
h-QN        |     for i in range(M - left + 1))
gQ+NT       | else M >= left + right
            | output:
s:Rdtsz     | sum(fill(i, i, N - 1)
h           |     for i in range(M + 1))

Q:&>~PiY^Xds

               M is the first input and N the second
Q:             increment M and generate range from 1 to M+1
  &>           compare vector element wise with itself with greater-than function
               results in a upper-right triangular matrix
    ~          inverse to get lower-left triangular matrix
     P         flip rows to get upper-left triangular matrix
      i        input N
       Y^      take the matrix to the power of N
         Xds   compute the sum of the main diagonal

°(√&╒íƽ╨⌂'├╖▼1_Z

^1](    [1, 0, ... 0] with M zeroes
:)      get all rotations of the array
{       begin block
  {:+rm map each array to reverse(prefixSums(arr))
},v*    execute preceding block N-1 times
F       for each array, execute the rest of the program
  iT    remove the last i elements from the array, where i is the iteration index
  F+    add the remaining elements to the running total
        implicitly print output

function(M,N)sum(diag(Reduce(`%*%`,rep(list(outer(0:M,0:M,"+")<=M),N))))