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에 대해 대한 다항식 회귀 분석을 수행 할 때 때때로 사람들은 원시 다항식, 때로는 직교 다항식을 사용합니다. 그러나 그들이 완전히 임의적 인 것처럼 보이는 것을 사용할 때. $Y$

와이

$Y$ $X$

엑스

$X$

여기 에서 여기에 원시 다항식이 사용됩니다. 그러나 여기 와 여기 에서 직교 다항식은 올바른 결과를 제공하는 것으로 보입니다. 왜, 어떻게, 왜?!

반면에 교과서 (예 : ISLR ) 에서 다항식 회귀에 대해 학습 할 때 원시 또는 직교 다항식은 언급하지 않으며 적합 할 모형 만 제공됩니다.

그래서 언제 무엇을 사용해야합니까?
왜 , 등 의 개별 p- 값 이이 두 값 사이에서 크게 다른가? $X$

$엑스$
$X$ $X^{2}$
${엑스}^{2}$

$X^2$

답변

변수 와 는 선형 적으로 독립적이지 않습니다. 그래서 경우에도 추가, 어떤 차 효과가없는 의 예상 효과를 수정합니다 모델에 . $X$

X

$X$ $X^{2}$

X^{2}

$X^2$ $X^{2}$

X^{2}

$X^2$ $X$

X

$X$

매우 간단한 시뮬레이션으로 살펴 봅시다.

> x <- runif(1e3)
> y <- x + rnorm(length(x))
> summary(lm(y~x))

Coefficients:
            Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)
(Intercept) -0.03486    0.06233  -0.559    0.576
x            1.05843    0.10755   9.841   <2e-16 ***

이제 모형에 2 차 항이 적합합니다.

> summary(lm(y~x+I(x^2)))

Coefficients:
            Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)
(Intercept)  0.03275    0.09528   0.344    0.731
x            0.65742    0.44068   1.492    0.136
I(x^2)       0.39914    0.42537   0.938    0.348

물론 옴니버스 테스트는 여전히 중요하지만, 우리가보고있는 결과는 이것이 아니라고 생각합니다. 해결책은 직교 다항식을 사용하는 것입니다.

 > summary(lm(y~poly(x,2)))

 Coefficients:
            Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)
(Intercept)  0.49744    0.03098  16.059   <2e-16 ***
poly(x, 2)1  9.63943    0.97954   9.841   <2e-16 ***
poly(x, 2)2  0.91916    0.97954   0.938    0.348

x첫 번째 모델과 poly(x,2)1두 번째 모델 의 계수는 같지 않으며 인터셉트도 다릅니다. 이는 poly직교 법선 벡터를 제공 하기 때문에 벡터와 직교합니다 rep(1, length(x)). 따라서 그보다 poly(x,2)1는 x오히려 (x -mean(x))/sqrt(sum((x-mean(x))**2))…

중요한 점은이 마지막 모델에서 Wald 테스트가 독립적이라는 것입니다. 직교 다항식을 사용하여 Wald 테스트를보고 원하는 정도까지 결정할 수 있습니다. 여기서 는 유지 하지만 유지 하지 않기로 결정합니다 . 물론 처음 두 개의 적합 모델을 비교하여 동일한 모델을 찾을 수 있지만이 방법은 더 간단합니다. 더 높은 각도로 올라가는 것을 고려하면 훨씬 더 간단합니다. $X$

X

$X$ $X^{2}$

X^{2}

$X^2$

유지할 항을 결정한 후에 는 해석 가능성 또는 예측을 위해 원시 다항식 및 로 돌아갈 수 있습니다 . $X$

X

$X$ $X^{2}$

X^{2}

$X^2$

답변

상황을 순진하게 평가하려면 :

일반적으로 : 두 개의 서로 다른 기본 함수 시스템 과 일부 함수 (hilbert-) 공간에 대해 을 가지고 있다고 가정합니다 (일반적으로 즉, 모든 제곱 적분 함수의 공간입니다. ${p_{n}}_{n = 1}^{\infty}$

{p_{n}}_{n = 1}^{\infty}

$\{p_n\}_{n=1}^\infty$ ${\tilde{p}}_{n = 1}^{\infty}$

{\tilde{p}}_{n = 1}^{\infty}

$\{\tilde{p}\}_{n=1}^\infty$ $L_{2} ([a, b])$

L_{2} ([a, b])

$L_2([a,b])$

$L_{2} ([a, b])$

L_{2} ([a, b])

$L_2([a,b])$ $y \in L_{2} ([a, b])$

y \in L_{2} ([a, b])

$y \in L_2([a,b])$ $θ_{n}$

θ_{엔}

$\theta_n$ ${\tilde{θ}}_{n} \in R$

{\tilde{θ}}_{n} \in 아르 자형

$\tilde{\theta}_n \in \mathbb{R}$ $n = 1, 2, \dots$

n = 1, 2, \dots

$n=1,2,\dots$ $L_{2}$

엘_{2}

$L_2$

\sum_{엔 = 1}^{\infty} {\tilde{θ}}_{엔} {\tilde{피}}_{엔} = 와이 = \sum_{엔 = 1}^{\infty} θ_{엔} 피_{엔} .

$\sum_{n=1}^\infty \tilde{\theta}_n \tilde{p}_n = y= \sum_{n=1}^\infty \theta_n p_n.$

$k < \infty$

케이 < \infty

$k<\infty$

{피_{엔}}_{엔 = 1}^{케이}

$\{p_n\}_{n=1}^k$

{\tilde{피}}_{엔 = 1}^{케이},

$\{\tilde{p}\}_{n=1}^k,$ $L_{2} ([a, b])$

엘_{2} ([ㅏ, 비])

$L_2([a,b])$

${\tilde{p}}_{n = 1}^{\infty}$

{\tilde{피}}_{엔 = 1}^{\infty}

$\{\tilde{p}\}_{n=1}^\infty$ ${p_{n}}_{n = 1}^{\infty}$

{피_{엔}}_{엔 = 1}^{\infty}

$\{p_n\}_{n=1}^\infty$ $y$

와이

$y$ ${p}_{n = 1}^{k}$

{피}_{엔 = 1}^{케이}

$\{p\}_{n=1}^k$ $k$

케이

$k$ $L_{2} ([a, b])$

엘_{2} ([ㅏ, 비])

$L_2([a,b])$

$p$

피

$p$

따라서 예측 측면에서 (이 경우) 차이가 없습니다.

$v a r (\hat{\tilde{θ}}) = I σ ²$

V ㅏ 아르 자형 (\hat{\tilde{θ}}) = 나는 σ ²

$var(\hat{\tilde{\theta}}) = I \sigma²$

가장 잘린 기본 시스템이 있으면 자연스런 문제가 발생합니다. 그러나 질문에 대한 대답은 단순하거나 독특하지 않으며 예를 들어 "최고"라는 단어의 정의, 즉 보관하려는 대상에 따라 다릅니다.

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