배경 : 기계 학습에서 종종 높은 차원 확률 밀도 함수를 나타 내기 위해 그래픽 모델 을 사용합니다. 밀도가 1에 통합되는 (제한) 제약 조건을 무시하면 정규화되지 않은 그래프 구조 에너지 함수를 얻게 됩니다 .

그래프 G = ( V , E ) 에 정의 된 에너지 함수 가 있다고 가정 합니다. 그래프의 각 꼭짓점마다 하나의 변수 x 가 있으며 실제 값을 갖는 단항 및 쌍별 함수 θ i ( x i )가 있습니다 : i ∈ V 및 θ i j ( x i , x j ) : i j ∈ E , 각기. 그때 전체 에너지는E

$E$

$E$G=(V,E)

$G=(\mathcal{V},\mathcal{E})$

$G = (\mathcal{V}, \mathcal{E})$x

$x$

$x$θi(xi):i∈V

${\theta }_i(x_i):i\in \mathcal{V}$

$\theta_i(x_i) : i \in \mathcal{V}$θij(xi,xj):ij∈E

${\theta }_{ij}(x_i,x_j):ij\in \mathcal{E}$

$\theta_{ij}(x_i, x_j) : ij \in \mathcal{E}$

$$E(\mathbf{x}) = \sum_{i \in \mathcal{V}} \theta_i(x_i) + \sum_{ij \in \mathcal{E}} \theta_{ij}(x_i, x_j)$$

모든 가 이진수 인 경우 x 는 집합 구성원을 나타내는 것으로 생각할 수 있으며 하위 모듈에 대해 용어를 조금만 남용 할 수 있습니다 . 이 경우 에너지 함수는 mod θ i j ( 0 , 0 ) + θ i j ( 1 , 1 ) ≤ θ i j ( 0 , 1 ) + θ i j ( 1 , 0 )x∈x

$x\in \mathbf{x}$

$x \in \mathbf{x}$x

$x$

$x$θij(0,0)+θij(1,1)≤θij(0,1)+θij(1,0)

${\theta }_{ij}(0,0)+{\theta }_{ij}(1,1)\le {\theta }_{ij}(0,1)+{\theta }_{ij}(1,0)$

$\theta_{ij}(0, 0) + \theta_{ij}(1, 1) \le \theta_{ij}(0, 1) + \theta_{ij}(1, 0)$. 일반적으로 에너지를 최소화하는 구성, 를 찾는 데 관심이 있습니다 .x∗=argminxE(x)

${\mathbf{x}}^{\ast }=\arg \underset{\mathbf{x}}{min}E(\mathbf{x})$

$\mathbf{x}^* = \arg \min_{\mathbf{x}} E(\mathbf{x})$

하위 모듈 식 에너지 ​​함수를 최소화하는 것과 모노톤 부울 함수를 연결하는 것 사이에 연결이있는 것 같습니다. 어떤 x i에 대해 일부 의 에너지를 낮추면 (즉, 선호도를 “true”로 증가) 임의의 변수 x * i 0 x * 의 최적 할당은 0에서 1 ( “false”에서 “true”)로만 변경할 수 있습니다. 모든 θ i 가 0 또는 1로 제한되면 | V | 모노톤 부울 함수 :θi(xi=1)

${\theta }_i(x_i=1)$

$\theta_i(x_i=1)$xi

$x_i$

$x_i$x∗i∈x∗

$x_i^{\ast }\in {\mathbf{x}}^{\ast }$

$x_i^* \in \mathbf{x}^*$θi

${\theta }_i$

$\theta_i$|V|

$|\mathcal{V}|$

$|\mathcal{V}|$

$$f_i(\mathbf{\theta}) = x_i^*$$

x∗=argminxE(x)

${\mathbf{x}}^{\mathbf{\ast }}=\arg \underset{\mathbf{x}}{min}E(\mathbf{x})$

$\mathbf{x^*} = \arg \min_{\mathbf{x}} E(\mathbf{x})$

θij

${\theta }_{ij}$

$\theta_{ij}$E

$E$

$E$|V|

$|\mathcal{V}|$

$|\mathcal{V}|$

이러한 관계를 더 잘 이해하는 데 도움이되는 참고 자료를 제안 할 수 있습니까? 나는 이론적 인 컴퓨터 과학자는 아니지만 하위 모듈 식 최소화 용어로 생각하여 포착되지 않는 모노톤 부울 함수에 대한 통찰력이 있는지 이해하려고합니다.

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