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중심 한계 정리는 이 무한대로 갈 때 iid 변수의 평균 이 정규 분포를 따릅니다. $N$

N

$N$

이것은 두 가지 질문을 제기합니다.

우리는 이것을 많은 수의 법칙으로 추론 할 수 있습니까? 많은 수의 법칙은 확률 변수의 값의 샘플의 평균은 실제 평균에 해당된다는 말한다면 으로 무한대 다음이 값이되고 있음 (중심 극한 말한대로) 그 말을 더 강해 보인다 여기서 는 표준 편차입니다. 그러면 중앙 제한이 많은 법칙을 암시한다고 말하는 것이 공정합니까? $μ$
중심 한계 정리가 변수의 선형 조합에 적용됩니까?

답변

OP는 말합니다

중심 한계 정리는 N이 무한대로 갈 때 iid 변수의 평균이 정규 분포를 따릅니다.

I 그것이 OP 믿음임을 의미이 걸릴 것이다 IID 랜덤 변수 평균이 및 표준 편차 누적 분포 함수 의

는 의 누적 분포 함수 , 즉 평균 및 표준 편차 정규 랜덤 변수 수렴됩니다 . 또는 OP는이 공식의 사소한 재배치, 예를 들어 분포가 분포 또는 분포로 수렴한다고 생각합니다. $X_{i}$

X_{i}

$X_i$ $μ$

μ

$\mu$ $σ$

σ

$\sigma$ $F_{Z_{n}} (a)$

F_{Z_{n}} (a)

$F_{Z_n}(a)$

Z_{n} = \frac{1}{n} \sum_{i = 1}^{n} X_{i}

$Z_n = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n X_i$ $N (μ, σ)$

N (μ, σ)

$\mathcal N(\mu,\sigma)$ $μ$

μ

$\mu$ $σ$

σ

$\sigma$ $Z_{n} - μ$

Z_{n} - μ

$Z_n - \mu$ $N (0, σ)$

N (0, σ)

$\mathcal N(0,\sigma)$ $(Z_{n} - μ) / σ$

(Z_{n} - μ) / σ

$(Z_n - \mu)/\sigma$ 표준 정규 랜덤 변수 의 분포로 수렴 합니다. 이 문장들이

으로서 . $N (0, 1)$

N (0, 1)

$\mathcal N(0,1)$

P {| Z_{n} - μ | > σ} = 1 - F_{Z_{n}} (μ + σ) + F_{Z_{n}} ((μ + σ)^{-}) \to 1 - Φ (1) + Φ (- 1) \approx 0.32

$P\{|Z_n - \mu| > \sigma\} = 1 - F_{Z_n}(\mu + \sigma) + F_{Z_n}((\mu + \sigma)^-) \to 1-\Phi(1)+\Phi(-1) \approx 0.32$ $n \to \infty$

n \to \infty

$n \to \infty$

OP는 계속해서 말합니다

이것은 두 가지 질문을 제기합니다.

우리는 이것을 많은 수의 법칙으로 추론 할 수 있습니까? 큰 수의 법칙에 따라 임의의 변수 값 샘플의 평균이 N이 무한대로 갈 때 실제 평균 μ와 같다고 말하는 경우 (중앙 한계에서 알 수 있듯이) 값이 N ( μ, σ) 여기서 σ는 표준 편차입니다.

많은 수의 약한 법은 말한다 IID 확률 변수에 대한
유한 평균이 주어진, ,

표준 편차가 유한하다고 가정 할 필요는 없습니다. $X_{i}$

X_{i}

$X_i$ $μ$

μ

$\mu$ $ϵ > 0$

ϵ > 0

$\epsilon > 0$

P {| Z_{n} - μ | > ϵ} \to 0 as n \to \infty .

$P\{|Z_n - \mu| > \epsilon\} \to 0 ~~ \text{as}~ n \to \infty.$

OP의 질문에 대답하기 위해

OP에 명시된 중앙 제한 정리
는 많은 수의 약한 법칙을 암시하지 않습니다 . 로 , 정리가 말한다 중심 극한의 OP의 버전
약한 법이 있다고하면서 $n \to \infty$
$n \to \infty$
$n \to \infty$ $P {| Z_{n} - μ | > σ} \to 0.317 \dots$
$P {| Z_{n} - μ | > σ} \to 0.317 \dots$
$P\{|Z_n-\mu| > \sigma\} \to 0.317\cdots$ $P {| Z_{n} - μ | > σ} \to 0$
$P {| Z_{n} - μ | > σ} \to 0$
$P\{|Z_n-\mu| > \sigma\} \to 0$
중심 한계 정리 의 정확한 진술로부터, 유한 평균 및 표준 편차를 갖는 랜덤 변수에 적용되는 많은 수의 약한 법칙의 제한된 형태만을 최상으로 추론 할 수있다. 그러나 많은 수의 약한 법칙은 유한 수단이지만 무한 표준 편차를 갖는 파레토 랜덤 변수와 같은 랜덤 변수에도 적용됩니다.
표본 평균 이 0이 아닌 표준 편차 로 정규 랜덤 변수에 수렴한다고 말하는 것이 표본 평균이 모집단 평균에 수렴한다고 말하는 것보다 더 강한 진술인 이유를 이해하지 못합니다 (또는 표준 편차 가 0 인 임의 변수) 너는 좋아한다).

답변

큰 수의 법칙의 경우, 모든 확률을 동일한 확률 공간에 정의해야합니다 (대수의 법칙은 모든 대해 의해 결정된 이벤트 확률에 대한 설명 이므로 ). 분포의 수렴의 경우 확률 확률이 서로 다를 수 있으며 증거의 여러 측면을 단순화합니다 (예 : 중첩 공간 증가, 다양한 삼각 배열 증명에 매우 일반적). 그러나 그것은 또한 과 의 공동 분포에 관한 진술을 할 수 없다는 것을 의미합니다 . 따라서 모든 변수에 대해 공통 확률 공간이 없다면 분포의 수렴이 많은 수의 법칙을 의미하지는 않습니다. ${\bar{X}}_{n}$

{\bar{X}}_{n}

$\bar X_n$ $n$

n

$n$ ${\bar{X}}_{n}$

{\bar{X}}_{n}

$\bar X_n$ ${\bar{X}}_{n + 1}$

{\bar{X}}_{n + 1}

$\bar X_{n+1}$

답변

$\sqrt{n} ({\bar{X}}_{n} - E X)$

\sqrt{n} ({\bar{X}}_{n} - E X)

$\sqrt{n}(\bar{X}_n-EX)$ $N (0, V a r (X))$

N (0, V a r (X))

$\mathcal N(0, Var(X))$ $\bar{X}$

\bar{X}

$\bar{X}$ $n$

n

$n$ $X$

X

$X$

X

$X$ $Y$

Y

$Y$

\sqrt{n} (\frac{1}{n} \sum_{j = 1}^{n} (a X_{j} + Y_{j}) - E (a X + Y)) \to N (0, V a r (a X + Y))

$\sqrt{n}(\frac{1}{n}\sum_{j=1}^n(aX_j+Y_j) - E(aX+Y)) \to \mathcal N(0, Var(aX+Y))$

\sqrt{n} a ({\bar{X}}_{n} - E X) + \sqrt{n} ({\bar{Y}}_{n} - E Y) \to N (0, a^{2} V a r (X) + V a r (Y)) .

$\sqrt{n}a(\bar{X}_n- EX)+\sqrt{n}(\bar{Y}_n -EY) \to \mathcal N(0, a^2Var(X)+Var(Y)).$

다시 말해, 랜덤 변수의 선형 조합은 CLT 하에서 하나의 법선 인 법선의 선형 조합으로 수렴되지 않습니다. 임의 변수의 선형 조합은 CLT를 직접 적용 할 수있는 다른 임의 변수 일 뿐이므로 이치에 맞습니다.

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중앙 한계 정리 대 다수의 법칙 값이되고 있음 (중심 극한 말한대로)

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