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polynomial-time

최단 경로 문제의“친척” 최소가 되도록

음이 아닌 간선 가중치와 두 개의 고유 정점

s,t

로 연결된 무 방향 그래프를 고려하십시오 . 다음은 모두 다음과 같은 형식의 일부 경로 문제입니다. 경로에서 가장자리 가중치의 일부 기능이 최소가 되도록

st

경로를 찾으십시오 . 이런 의미에서 그것들은 모두 최단 경로 문제의 “상대적”입니다. 후자의 함수는 단순히 합계입니다.

참고 : 우리는 간단한 경로, 즉 반복 정점이없는 것을 찾고 있습니다. 문헌에서 이러한 문제에 대한 표준 이름을 찾지 못했기 때문에 스스로 이름을 지정했습니다.

최소 무게 차이가있는 경로 : 경로에서 가장 큰 가장자리 가중치와 가장 작은 가장자리 가중치의 차이가 최소가 되도록

st

경로를 찾으십시오 .

가장 부드러운 경로 : 경로에서 가장 큰 단계 크기가 최소가 되도록

st

경로를 찾으십시오. 여기서 단계 크기는 두 개의 연속 모서리 사이의 무게 차이의 절대 값입니다 .

최소 고도 가있는 경로 : 경로를 따라 단계 크기의 합으로 경로의 고도를 정의합니다 (위의 단계 크기 정의 참조). 최소 고도로

st

경로를 찾으십시오 .

최소 소수 가중치를 가진 경로 : 모든 모서리 가중치가 양의 정수라고 가정하면 가중치가 소수 가되도록

st

경로를 찾으십시오 . 그러한 경로가 있다면, 가능한 가장 작은 무게를 가진 경로를 찾으십시오.

질문 : 이러한 경로 문제에 대해 알려진 것은 무엇입니까? (그리고 비슷한 정신으로 생각할 수있는 다른 것들이 가중치의 다른 기능을 적용합니다.) 일반적으로, 다항식 시간에서 에지 가중치의 기능을 최소화 할 수 있고 NP-hard 인 지침이 있습니까?

s

t

st



답변

첫 번째 문제에 대한 답변은 다음과 같습니다.

최소 무게 차이가있는 경로 : 경로에서 가장 큰 가장자리 가중치와 가장 작은 가장자리 가중치의 차이가 최소가 되도록 s – t 경로를 찾으십시오

st

1984 년의 논문에 따르면 다항식 시간의 조합 최적화 문제에 대한 타당성을 결정할 수있을 때마다 (가중치되지 않은 경우 솔루션이 존재 함) 다항식 시간에서 가장 크고 작은 차이를 최소화하는 솔루션을 찾을 수 있음을 보여줍니다 비용 계수 (가중 된 경우) :

S. Martello, WR Pulleyblank, P. Toth, D. de Werra
균형 최적화 문제
운영 리서치 레터 3, 1984, 275-278 페이지

이것은 당신의 질문에 다항식 시간 알고리즘을 암시합니다.


답변

O~(|E|2)

|E|

|E|

O~(|E|)

|E|2

k

k1


S

Θ(n/logn)

PS

이진 가중치의 경우에도 : 각 포인트에서 폴리 노 미적으로 많은 ( 따라 ) 가장 낮은 경로 가중치를 추적하기에 충분합니다 . 그러나 프라임 가중치를 사용하면 가중치 가중치의 제수를 다양 화해야 할 수도 있습니다 (가장 낮은 가중치를 추적하는 대신).

S

가장 부드러운 경로 : NP 완료. 자체 교차를 허용하면 시간 로 해결할 수 있지만 자체 교차가없는 버전의 경우 변수 가있는 3-SAT가 줄어 듭니다 . 꼭짓점 과 각 절의 꼭짓점을 갖습니다. 각 변수 ( )에 대해 에서 까지의 부드러운 경로 (필요한 경우 추가 정점 사용)를 추가 하고 양의 발생하는 모든 절을 통과 하는 절의 유사한 경로를

O~(|E|)

n

s=v0,v1,...,t=vn

xi

i<n

vi

vi+1

xi

¬xi

. 각 경로의 첫 번째 및 마지막 가장자리 가중치를 1 (또는 다른 상수)로 설정하지만 다른 경로가 매끄럽지 않도록 가중치를 선택하십시오. 마지막으로 모든 절 정점과 인접한 모서리를 복제합니다. 이 방법으로 각 조항을 최대 두 번 방문 할 수 있으며 3-SAT이면 충분합니다.


답변