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PCA가 제공하는 좌표 공간이 아니라 약간 다른 (회전) 벡터 세트에 대해 데이터 세트의 분산 백분율을 얻는 방법을 이해하고 싶습니다.

set.seed(1234)
xx <- rnorm(1000)
yy <- xx * 0.5 + rnorm(1000, sd = 0.6)
vecs <- cbind(xx, yy)
plot(vecs, xlim = c(-4, 4), ylim = c(-4, 4))
vv <- eigen(cov(vecs))$vectors
ee <- eigen(cov(vecs))$values
a1 <- vv[, 1]
a2 <- vv[, 2]
theta = pi/10
rotmat <- matrix(c(cos(theta), sin(theta), -sin(theta), cos(theta)), 2, 2)
a1r <- a1 %*% rotmat
a2r <- a2 %*% rotmat
arrows(0, 0, a1[1], a1[2], lwd = 2, col = "red")
arrows(0, 0, a2[1], a2[2], lwd = 2, col = "red")
arrows(0, 0, a1r[1], a1r[2], lwd = 2, col = "green3")
arrows(0, 0, a2r[1], a2r[2], lwd = 2, col = "green3")
legend("topleft", legend = c("eigenvectors", "rotated"), fill = c("red", "green3"))

따라서 기본적으로 PCA가 제공하는 각 빨간색 축을 따라 데이터 집합의 분산은 고유 값으로 표시됩니다. 그러나 어떻게 같은 양의 등가 분산을 얻을 수 있습니까?하지만 두 개의 다른 축을 녹색으로 투영했습니다 .이 구성 요소 축의 pi / 10 회전입니다. IE는 원점에서 두 개의 직교 단위 벡터를 주었으므로 모든 임의의 (그러나 직교) 축을 따라 데이터 집합의 분산을 얻는 방법은 무엇입니까? 모든 분산이 설명되도록 PCA).

답변

$X$

X

$X$ $n$

n

$n$ $d$

d

$d$ ${v_{1}, . . ., v_{k}}$

{v_{1}, . . ., v_{k}}

$\{v_1, ..., v_k\}$ $v_{i}$

v_{i}

$v_i$ $Var (X v_{i})$

Var (X v_{i})

$\text{Var}(X v_i)$

$k = d$

k = d

$k = d$ $k < d$

k < d

$k < d$

$R^{2}$

R^{2}

$R^2$ $S$

S

$S$

R^{2} = \frac{1}{S} \sum_{i = 1}^{k} Var (X v_{i})

$R^2 = \frac{1}{S}\sum_{i=1}^{k} \text{Var}(X v_i)$

이것은 투영의 합산 분산과 원래 치수에 따른 합산 분산의 비율입니다.

$R^{2}$

R^{2}

$R^2$ $i$

i

$i$ $x_{(i)}$

x_{(i)}

$x_{(i)}$ $V$

V

$V$ $i$

i

$i$ $V$

V

$V$ $p_{(i)} = x_{(i)} V$

p_{(i)} = x_{(i)} V

$p_{(i)} = x_{(i)} V$ $k < d$

k < d

$k < d$ ${\hat{x}}_{(i)} = p_{(i)} V^{T}$

{\hat{x}}_{(i)} = p_{(i)} V^{T}

$\hat{x}_{(i)} = p_{(i)} V^T$

E = \frac{1}{n} ‖ x_{(i)} - {\hat{x}}_{(i)} ‖^{2}

$E = \frac{1}{n} \|x_{(i)} - \hat{x}_{(i)}\|^2$

적합도 는 다른 모형과 동일한 방식으로 정의됩니다 (예 : 1에서 설명 할 수없는 분산의 분수). 모델의 평균 제곱 오차 ( )와 모델링 된 수량의 총 분산 ( )이 주어지면 . 데이터 재구성의 맥락에서 평균 제곱 오류는 (재구성 오류)입니다. 총 분산은 (데이터의 각 차원에 따른 분산의 합)입니다. 그래서: $R^{2}$

R^{2}

$R^2$ $MSE$

MSE

$\text{MSE}$ ${Var}_{total}$

{Var}_{total}

$\text{Var}_{\text{total}}$ $R^{2} = 1 - MSE / {Var}_{total}$

R^{2} = 1 - MSE / {Var}_{total}

$R^2 = 1 - \text{MSE} / \text{Var}_{\text{total}}$ $E$

E

$E$ $S$

S

$S$

R^{2} = 1 - \frac{E}{S}

$R^2 = 1 - \frac{E}{S}$

$S$

S

$S$ 는 또한 각 데이터 포인트에서 모든 데이터 포인트의 평균까지의 평균 제곱 유클리드 거리와 동일하므로, 를 재구성 오류를 항상 반환하는 '최악의 사례 모델'의 오류와 비교하는 것으로 생각할 수 있습니다 . 재구성으로 의미합니다. $R^{2}$

R^{2}

$R^2$

대한 두 표현식 은 동일합니다. 위와 같이 원래 크기 ( ) 만큼 많은 벡터가 있으면 는 1이됩니다. 그러나 이면 는 일반적으로 PCA보다 적습니다. PCA를 생각하는 또 다른 방법은 제곱 재구성 오류를 최소화한다는 것입니다. $R^{2}$

R^{2}

$R^2$ $k = d$

k = d

$k = d$ $R^{2}$

R^{2}

$R^2$ $k < d$

k < d

$k < d$ $R^{2}$

R^{2}

$R^2$

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PCA 고유 벡터가 아닌 벡터의 “고유 값”(설명 된 분산의 백분율)을 얻는 방법? yy) plot(vecs, xlim = c(-4, 4), ylim

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