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두 개의 랜덤 변수 벡터가 있는데, 둘 다 정상입니다. 즉, 및 입니다. 우리는 선형 조합 의 분포에 관심이 있습니다. 여기서 와 는 행렬이고 는 벡터입니다. 경우 및 독립적으로, . 우리는 모든 쌍 의 상관 관계를 알고 있다고 가정하면 의존적 인 경우 입니다. 감사합니다. $X \sim N (μ_{X}, Σ_{X})$

X \sim N (μ_{X}, Σ_{X})

$X \sim N(\mu_X, \Sigma_X)$ $Y \sim N (μ_{Y}, Σ_{Y})$

Y \sim N (μ_{Y}, Σ_{Y})

$Y \sim N(\mu_Y, \Sigma_Y)$ $Z = A X + B Y + C$

Z = A X + B Y + C

$Z = A X + B Y + C$ $A$

A

$A$ $B$

B

$B$ $C$

C

$C$ $X$

X

$X$ $Y$

Y

$Y$ $Z \sim N (A μ_{X} + B μ_{Y} + C, A Σ_{X} A^{T} + B Σ_{Y} B^{T})$

Z \sim N (A μ_{X} + B μ_{Y} + C, A Σ_{X} A^{T} + B Σ_{Y} B^{T})

$Z \sim N(A \mu_X + B \mu_Y + C, A \Sigma_X A^T + B \Sigma_Y B^T)$ $(X_{i}, Y_{i})$

(X_{i}, Y_{i})

$(X_i, Y_i)$

소원, 이반

답변

이 경우

( 편집 : 의 관절 정규성 가정 ) 그런 다음

및

즉

(\begin{matrix} X \\ Y \end{matrix}) \sim N [(\begin{matrix} μ_{X} \\ μ_{Y} \end{matrix}), Σ_{X, Y}]

$\left(\begin{matrix}X\\Y \end{matrix}\right) \sim \mathcal{N}\left[ \left(\begin{matrix}\mu_X\\\mu_Y\end{matrix}\right), \Sigma_{X,Y} \right]$ $(X, Y)$

(X, Y)

$(X,Y)$

A X + B Y = (\begin{matrix} A & B \end{matrix}) (\begin{matrix} X \\ Y \end{matrix})

$AX+BY=\left(\begin{matrix}A& B \end{matrix}\right) \left(\begin{matrix}X\\Y \end{matrix}\right)$

A X + B Y + C \sim N [(\begin{matrix} A & B \end{matrix}) (\begin{matrix} μ_{X} \\ μ_{Y} \end{matrix}) + C, (\begin{matrix} A & B \end{matrix}) Σ_{X, Y} (\begin{matrix} A^{T} \\ B^{T} \end{matrix})]

$AX+BY+C \sim \mathcal{N}\left[ \left(\begin{matrix}A& B \end{matrix}\right) \left(\begin{matrix}\mu_X\\\mu_Y\end{matrix}\right) + C, \left(\begin{matrix}A & B \end{matrix}\right)\Sigma_{X,Y} \left(\begin{matrix}A^T \\ B^T \end{matrix}\right)\right]$

A X + B Y + C \sim N [A μ_{X} + B μ_{Y} + C, A Σ_{X X} A^{T} + B Σ_{X Y}^{T} A^{T} + A Σ_{X Y} B^{T} + B Σ_{Y Y} B^{T}]

$AX+BY+C \sim \mathcal{N}\left[A\mu_X + B\mu_Y +C, A\Sigma_{XX}A^T+B\Sigma_{XY}^TA^T+A\Sigma_{XY}B^T+B\Sigma_{YY}B^T \right]$

답변

와 가 공분산 상단 오른쪽 블록 과 함께 분산되어 있다고 가정하지 않는 한 귀하의 질문에는 현재 제기 된 고유 한 답변이 없습니다 . 나는 당신이 X와 Y 사이에 각각의 공분산을 가지고 있다고 말했기 때문에 이것을 의미한다고 생각합니다.이 경우 우리 는 다변량 법선 인 를 쓸 수 있습니다 . 다음 측면에서 주어진 등 : $X$

X

$X$ $Y$

Y

$Y$ $Σ_{X Y}$

Σ_{X Y}

$\Sigma_{XY}$ $W = (X^{T}, Y^{T})^{T}$

W = (X^{T}, Y^{T})^{T}

$W=(X^T,Y^T)^T$ $Z$

Z

$Z$ $W$

W

$W$

Z = (A, B) W + C

$Z=(A,B)W+C$

그런 다음 일반적인 조합을 선형 조합에 사용합니다. 평균은 변하지 않지만 공분산 행렬에는 $A Σ_{X Y} B^{T} + B Σ_{X Y}^{T} A^{T}$

A Σ_{X Y} B^{T} + B Σ_{X Y}^{T} A^{T}

$A\Sigma_{XY}B^T+B\Sigma_{XY}^TA^T$

How IT

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두 개의 종속 다변량 정규 확률 변수의 선형 조합 관계를 알고 있다고 가정하면 의존적 인 경우

답변

답변

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