이것은 교호 합입니다. 각 연속 쌍은 거의 취소됩니다. 이러한 페어-합은 결국 단조 감소합니다.

따라서 한 가지 방법은 = {1,2}, {3,4}, {5,6} 등의 쌍으로 합계를 계산하는 것입니다 . 이렇게하면 많은 부동 소수점 오류도 제거됩니다. 더 많은 트릭이 도움이 될 수 있습니다.n

$n$

$n$

(1)을 해결하는 플러스 전율 좋은 시작 값을 검색하는 – 상기위한 훌륭한 근사 최대 root– 인 입니다. 뉴턴-랩슨이 정말 잘 작동 할 것 같아요.tan(t)=t/α

$\tan (t)=t/\alpha$

$\tan(t) = t / \alpha$α

$\alpha$

$\alpha$nth

$n^{\text{th}}$

$n^\text{th}$t=(n+1/2)π−α(n+1/2)π

$t=(n+1/2)\pi -\frac{\alpha }{(n+1/2)\pi }$

$t = (n + 1/2)\pi - \frac{\alpha}{(n + 1/2)\pi}$

(2) 소수의 초기 항 후에 쌍의 합은 크기가 매우 일정하게 감소하기 시작합니다. 지수 간격 쌍의 절대 값의 로그는 거의 선형 적으로 빠르게 감소합니다. 즉, 계산하지 않은 모든 페어 섬을 추정하기 위해 매우 적은 수의 계산 된 페어 섬을 보간 할 수 있습니다. 예를 들어, 쌍 (2,3), (4,5), (8,9), (16,17), …, (16384, 16385)에 대해서만 값을 계산하고 이들에 대한 보간 다항식을 구성함으로써 (1, 2, …, 14의 함수 값으로 생각) 및 인수h=μ=σ=1

$h=\mu =\sigma =1$

$h = \mu = \sigma = 1$최악의 오류에 대해 6 자릿수 정밀도를 달성 할 수있었습니다. (더 좋을지라도 오류가 부호로 진동하여 합산 된 보간 된 값의 정밀도가 6 자리보다 훨씬 낫다는 것을 암시합니다.)이 값의 끝에서 선형으로 외삽하여 제한 합계를 좋은 정밀도로 추정 할 수 있습니다. 전력 법으로 변환하고 외삽 기능을 무한대로 통합합니다. 이 예제 계산을 완료하려면 첫 번째 항도 필요합니다. 그것은 합산에서 단지 29 개의 계산 된 항에 의해 6 개의 그림 정밀도를 제공합니다.

(3) 함수는 실제로 세 변수 모두에 독립적이 아니라 및 에 의존합니다. 에 대한 의존성 은 약해야한다. 모든 계산에서 값을 수정하는 데 만족할 수 있습니다.h/σ

$h/\sigma$

$h/\sigma$μ/σ

$\mu /\sigma$

$\mu/\sigma$T

$T$

$T$

(4) 무엇보다도 Aitken의 방법 과 같은 몇 가지 직렬 가속 방법을 사용하십시오 . 이것에 대한 좋은 설명은 수치 레시피에 나타납니다 .

추가

(5) 적분으로 합계의 꼬리를 추정 할 수 있습니다. 기록시 , 식 (와 해결할 수) 대한 작은 다음입니다, 다시 대체하여. 에서 Taylor 시리즈의 탄젠트를 확장하면 대략적인 솔루션이 제공됩니다.θn=(n+1/2)π−1/tn

${\theta }_n=(n+1/2)\pi -1/t_n$

$\theta_n = (n + 1/2)\pi - 1/t_n$tan(θn)=θn/α

$\tan ({\theta }_n)={\theta }_n/\alpha$

$\tan(\theta_n) = \theta_n / \alpha$α=μh/σ2

$\alpha =\mu h/{\sigma }^2$

$\alpha = \mu h / \sigma^2$tn

$t_n$

$t_n$θn

${\theta }_n$

$\theta_n$tn

$t_n$

$t_n$

$$\theta_n = z - \frac{\alpha}{ z} - \frac{\alpha^2 - \alpha^3/3 }{z^3} + O\left((\frac{\alpha}{n})^5\right)$$

여기서 입니다.z=(n+1/2)π

$z=(n+1/2)\pi$

$z = (n + 1/2)\pi$

다만 이 충분히 큰 경우, 폼의 지수 인자 는 1에 매우 가까워져 무시할 수 있습니다. 가 이므로 첫 번째 지수가 매우 빠르게 0 이 되기 때문에 일반적으로 이러한 항은 작은 대해서도 무시할 수 있습니다 . (이것은 실질적으로 초과하면 발생합니다 . 가능하면 큰 대한 계산을 수행하십시오 !)n

$n$

$n$1−exp(−σ2θ2nT2h2)exp(−μ2T2σ2)

$1-\exp (\frac{-{\sigma }^2{\theta }_n^{2}T}{2h^2})\exp (\frac{-{\mu }^{2}T}{2{\sigma }^2})$

$1 - \exp(\frac{-\sigma^2 \theta_n^2 T}{2 h^2}) \exp(\frac{-\mu^2 T}{2 \sigma^2})$n

$n$

$n$θ2n

${\theta }_n^2$

$\theta_n^2$Θ(n2)

$\mathrm{\Theta }\left(n^2\right)$

$\Theta\left(n^2\right)$n

$n$

$n$α/T1/2

$\alpha /T^{1/2}$

$\alpha / T^{1/2}$T

$T$

$T$

에 대해이 표현식을 사용하여 과 대한 항을 합하면 다음 과 같이 근사값을 추정합니다.θn

${\theta }_n$

$\theta_n$n

$n$

$n$n+1

$n+1$

$n+1$

$$\frac{2}{\pi n^2}-\frac{4}{\pi n^3}+\frac{13 \pi ^2+6 (4-3 \alpha ) \alpha }{2 \pi ^3 n^4}+O\left(\frac{1}{n^5}\right) \text{.}$$

시작 합 장착 통해 일체로 부터 꼬리 가깝다. (적분은 의 공통 인수로 곱해야합니다 .) 적분의 오류는 입니다. 따라서 세 개의 유효 숫자를 달성하려면 일반적으로 합계에서 약 8 개 정도의 항을 계산 한 다음이 꼬리 근사값을 추가해야합니다.n=2N

$n=2N$

$n = 2N$N

$N$

$N$N−1/4

$N-1/4$

$N - 1/4$exp(−α)

$\exp (-\alpha )$

$\exp(-\alpha)$O(1/n4)

$O(1/n^4)$

$O(1/n^4)$

---

답변