임의의 임의 변수 의 경우 가장 일반적인 범위는
원래 질문에 명시된대로 입니다. 증명 스케치는 다음과 같습니다. X, Y가 IID이면 입니다. 아마도 종속 변수의 벡터 주어 ,하자 동일한 조인트 분포와 독립적이어야 벡터. 어떤을 위해 , 우리는 바인딩 조합에 의해이 을 에서 통합 하면 청구 된 불평등이 발생합니다.n

$n$

$n$Xi

$X_i$

$X_i$Var(maxXi)≤∑iVar(Xi)

$\mathrm{V}\mathrm{a}\mathrm{r}(max{X}_i)\le \sum _i\mathrm{V}\mathrm{a}\mathrm{r}(X_i)$

$\newcommand{\Var}{\mathrm{Var}}\Var(\max X_i) \le \sum_i \Var(X_i)$E[(X−Y)2]=2Var(X)

$E[(X-Y{)}^2]=2\mathrm{V}\mathrm{a}\mathrm{r}(X)$

$E[(X-Y)^2] =2\Var(X)$(X1,…,Xn)

$(X_1,\dots ,X_n)$

$(X_1,\ldots ,X_n)$(Y1,…,Yn)

$(Y_1,\dots ,Y_n)$

$(Y_1,\ldots ,Y_n)$r>0

$r>0$

$r>0$P[|maxiXi−maxiYi|2>r]≤∑iP[|Xi−Yi|2>r]

$P[|\underset{i}{max}{X}_i-\underset{i}{max}{Y}_i{|}^2>r]\le \sum _{i}P[|X_i-Y_i{|}^2>r]$

$P[ |\max_i X_i-\max_i Y_i|^2 >r] \le \sum_i P[ | X_i-Y_i|^2 >r]$dr

$dr$

$dr$0

$0$

$0$∞

$\mathrm{\infty }$

$\infty$

경우 확률 사건 IID 지표 다음 확률 이벤트의 지표 인 . 고정 및시키는 제로 경향 우리 얻을 및 .Xi

$X_i$

$X_i$ϵ

$ϵ$

$\epsilon$maxXi

$max{X}_i$

$\max X_i$nϵ+O(n2ϵ2)

$nϵ+O(n^2{ϵ}^2)$

$n\epsilon+O(n^2 \epsilon^2)$n

$n$

$n$ϵ

$ϵ$

$\epsilon$Var(Xi)=ϵ−ϵ2

$\mathrm{V}\mathrm{a}\mathrm{r}(X_i)=ϵ-{ϵ}^2$

$\Var(X_i)=\epsilon-\epsilon^2$Var(maxiXi)=nϵ+O(n2ϵ2)

$\mathrm{V}\mathrm{a}\mathrm{r}(\underset{i}{max}{X}_i)=nϵ+O(n^2{ϵ}^2)$

$\Var(\max_i X_i)= n\epsilon +O(n^2\epsilon^2)$

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