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신뢰 구간 (CI)은 확률이 비례와 같고 Kolmogrov (및 기타)의 공리 시스템을 기반으로하는 고전적인 확률 정의 ( “Frequentist definition”이라고도 함)를 기반으로하는 개념입니다.

신뢰할 수있는 간격 (가장 높은 밀도, HPD)은 Wald와 de Finetti의 작품을 기반으로 의사 결정 이론에 뿌리를 둔 것으로 간주 될 수 있습니다 (다른 사람들이 많이 확장).

이 스레드의 사람들이 베이지안과 빈번한 사례에서 가설의 차이와 예를 제시하는 데 큰 역할을 했으므로 몇 가지 중요한 점에 대해서만 강조하겠습니다.

1. CI는 HPD가 관측 된 데이터를 전적으로 기반으로하는 관측 된 데이터뿐만 아니라 (우리의 이전 가정을 준수한) 관측 된 데이터뿐만 아니라 관찰 될 수있는 모든 실험의 반복에 대해 추론이 이루어져야한다는 사실에 근거합니다.

2. 일반적으로 CI는 결정론의 근원으로 인해 HPD가 일관된 것처럼 일관되지 않습니다 (나중에 설명 할 것임). 일관성 (내 할머니에게 설명 할 것임)은 매개 변수 값에 베팅 문제가 있음을 고려할 때 고전 통계 학자 (자주 주의자)가 CI에 베팅하고 HPD에 대한 베이지안 베팅을하는 경우 빈번한 IS BOUND가 손실됩니다 (사소한 경우 제외) HPD = CI 인 경우). 즉, 실험 결과를 데이터를 기반으로 한 확률로 요약하려는 경우 확률은 사후 확률이 될 것입니다 (사전 기준). (거의) 다음과 같은 정리 (참고 : Heath and Sudderth, Annals of Statistics, 1978)가 있습니다 : 데이터를 기반으로 에 확률을 할당 하는 것이 베이지안 방식으로 얻은 경우에만 확실한 패배자가되지는 않습니다.θ

   $\theta$

   $\theta$

3. CI는 관측 된 데이터 ( “조건 원리”CP라고도 함)를 조건으로하지 않기 때문에 역설적 인 예가있을 수 있습니다. Fisher는 CP의 큰 지지자였으며이를 따르지 않을 때 (CI의 경우와 같이) 역설적 인 예를 많이 발견했습니다. 이것이 CI와 달리 p- 값을 추론에 사용한 이유입니다. 그의 견해에서 p- 값은 관측 된 데이터를 기반으로했다 (p- 값에 대해서는 말할 수 있지만 여기서는 초점이 아니다). 가장 유명한 역설적 사례 중 두 가지는 다음과 같습니다. (4와 5)

4. 콕스 예 (수학 통계 실록 1958..)
   에 대해 (IID) 우리가 원하는 추정 합니다. 은 고정되어 있지 않으며 동전을 던져서 선택됩니다. 동전 던지기 결과 H가 2이면, 그렇지 않으면 1000이 선택됩니다. “상식”추정치-표본 평균은 편차가 편차가없는 추정치입니다 . 때 표본 평균의 분산으로 무엇을 사용 합니까? 표본 평균 추정기의 분산을 추정기 의 실제 분산 대신 (조건부 분산 )로 사용하는 것이 더 좋지 않습니까? (Xi∼N(μ,σ2)

   $X_i\sim \mathcal{N}(\mu ,{\sigma }^2)$

   $X_i \sim \mathcal{N}(\mu, \sigma^2)$i∈{1,…,n}

   $i\in \{1,\dots ,n\}$

   $i\in\{1,\dots,n\}$μ

   $\mu$

   $\mu$n

   $n$

   $n$0.5σ2+0.0005σ2

   $0.5{\sigma }^2+0.0005{\sigma }^2$

   $0.5\sigma^2+0.0005\sigma^2$n=1000

   $n=1000$

   $n = 1000$0.001σ2

   $0.001{\sigma }^2$

   $0.001\sigma^2$0.5σ2+0.0005σ2

   $0.5{\sigma }^2+0.0005{\sigma }^2$

   $0.5\sigma^2+0.0005\sigma^2$). 이것은 때 분산을 로 사용할 때 CP의 간단한 그림입니다 . 독립형은 및 대해 중요하지 않거나 정보가 없지만 (즉, 은 그것들에 대해 부수적이지만) 그 가치가 주어지면 “데이터 품질”에 대해 많은 것을 알고 있습니다. 그들에 컨디셔닝되지 않아야 분산 포함 이것은 직접 CI에 관한 , 즉, 우리는 더 큰 분산을 사용하게한다 따라서 보수적 위에.0.001σ2

   $0.001{\sigma }^2$

   $0.001\sigma^2$n=1000

   $n=1000$

   $n=1000$n

   $n$

   $n$μ

   $\mu$

   $\mu$σ

   $\sigma$

   $\sigma$n

   $n$

   $n$n

   $n$

   $n$

5. Welch의 예 :이 예는 모든 대해 작동 하지만 단순화를 위해 를 사용합니다.
   (iid), 는 실수 줄에 속합니다. 이는 (iid)를 의미합니다. (통계가 아님)는 독립적 인 분포를 갖습니다 . 우리는 선택할 수 있습니다 일 의미, 는 의 99 % CI입니다.n

   $n$

   $n$n=2

   $n=2$

   $n=2$X1,X2∼U(θ−1/2,θ+1/2)

   $X_1,X_2\sim \mathcal{U}(\theta -1/2,\theta +1/2)$

   $X_1, X_2 \sim \mathcal{U}(\theta - 1/2, \theta +1/2)$θ

   $\theta$

   $\theta$X1−θ∼U(−1/2,1/2)

   $X_1-\theta \sim \mathcal{U}(-1/2,1/2)$

   $X_1 - \theta \sim \mathcal{U}(-1/2, 1/2)$12(X1+X2)x¯−θ

   $\frac{1}{2}(X_1+X_2)\overline{x}-\theta$

   $\frac{1}{2}(X_1 + X_2) {\bar x} - \theta$θ

   $\theta$

   $\theta$c>0

   $c>0$

   $c > 0$Probθ(−c<=x¯−θ<=c)=1−α(≈99%)

   ${\text{Prob}}_{\theta }(-c<=\overline{x}-\theta <=c)=1-\alpha (\approx 99\mathrm{\%})$

   $\text{Prob}_\theta(-c <= {\bar x} - \theta <= c) = 1-\alpha (\approx 99\%)$(x¯−c,x¯+c)

   $(\overline{x}-c,\overline{x}+c)$

   $({\bar x} - c, {\bar x} + c)$θ

   $\theta$

   $\theta$. 이 CI의 해석은 다음과 같습니다. 반복적으로 샘플링 하면 GIVEN 데이터에 대해 실제 , BUT (실내의 코끼리)를 포함하는 다른 및 99 % (최소한) 배가됩니다. CI에 true 가 포함될 확률을 모릅니다 . 이제 다음 데이터를 고려하십시오. 및 , 이므로 간격 에 (하나의 비판,x¯

   $\overline{x}$

   ${\bar x}$θ

   $\theta$

   $\theta$θ

   $\theta$

   $\theta$X1=0

   $X_1=0$

   $X_1 = 0$X2=1

   $X_2=1$

   $X_2=1$|X1−X2|=1

   $|X_1-X_2|=1$

   $|X_1 - X_2|=1$(X1,X2)

   $(X_1,X_2)$

   $(X_1, X_2)$θ

   $\theta$

   $\theta$Prob(|X1−X2|=1)=0

   $\text{Prob}(|X_1-X_2|=1)=0$

   $\text{Prob}(|X_1 - X_2|=1) = 0$그러나 수학적으로 처리 할 수 ​​있으며 논의하지는 않습니다.) 이 예제는 또한 일관성 개념을 아름답게 보여줍니다. 고전 통계학 의 값을 보지 않고 99 % CI에 베팅 할 것입니다. (당신이 당신의 직업에 충실하다고 가정). 그러나 베이지안은 의 값인 경우에만 CI에 베팅합니다. 우리가간격이 일관되고 플레이어는 더 이상 확실한 패배자가되지 않습니다 (히스와 서 더스의 정리와 유사).|X1−X2|

   $|X_1-X_2|$

   $|X_1 - X_2|$|X1−X2|

   $|X_1-X_2|$

   $|X_1 - X_2|$|X1−X2|

   $|X_1-X_2|$

   $|X_1 - X_2|$

6. Fisher는 이러한 문제에 대한 권장 사항을 가지고있었습니다. CP를 사용하십시오. Welch의 예에서 Fisher는 조건을 제안했습니다 . 보시다시피, 은 대한 보조 기능 이지만 에 대한 정보를 제공합니다. 경우 작고, 대한 많은 정보가없는 데이터에가. 경우 큰, 대한 많은 정보가 데이터에가. Fisher는 보조 통계에 대한 조건화 전략을 Fiducial Inference 라고하는 일반적인 이론으로 확장했습니다.X2−X1

   $X_2-X_1$

   $X_2-X_1$X2−X1

   $X_2-X_1$

   $X_2-X_1$θ

   $\theta$

   $\theta$X2−X1

   $X_2-X_1$

   $X_2-X_1$θ

   $\theta$

   $\theta$X2−X1

   $X_2-X_1$

   $X_2-X_1$θ

   $\theta$

   $\theta$(또한 그의 가장 큰 실패라고도한다 (cf Zabell, Stat. Sci. 1992)). 그러나 일반 성과 유연성의 부족으로 인해 인기를 얻지 못했다. Fisher는 고전 통계 (Neyman School) 및 베이지안 학교와는 다른 방법을 찾으려고 노력했습니다 (따라서 Savage의 유명한 속담 : "Fisher는 베이지안 알을 깨지 않고 베이지안 오믈렛 (예 : CP) 사용)을 원했습니다) . Fofolklore (증거 없음) : Fisher의 논쟁에서 Fisher는 Neyman의 방법이 관찰 된 데이터를 조건으로하지 않았기 때문에 과학자 대신 품질 관리 사람 이라고 부름으로써 Neyman을 공격했습니다 (Type I 및 Type II 오류 및 CI). 가능한 모든 반복.

7. 통계 학자들은 CP 외에 SSP (Sufficiency Principle)를 사용하기를 원합니다. 그러나 SP와 CP는 LP (Lowlihood Principle) (참조 : Birnbaum, JASA, 1962)를 의미한다. 즉 CP와 SP가 주어지면 표본 공간을 무시하고 우도 함수 만 살펴 봐야한다. 따라서 전체 샘플 공간이 아닌 주어진 데이터 만 볼 필요가 있습니다 (전체 샘플 공간을 보는 것은 반복 샘플링과 유사한 방식입니다). 이로 인해 잦은 관점에서 데이터에 대한 정보를 측정하는 관찰 된 피셔 정보 (참조 : Efron and Hinkley, AS, 1978)와 같은 개념이 생겼습니다. 데이터의 정보량은 CI 대신 베이지안 개념 (따라서 HPD 관련)입니다.

8. 키퍼는 1970 년대 후반에 CI에 대한 기초 작업을 수행했지만 그의 확장은 인기를 얻지 못했습니다. 좋은 참고 자료는 Berger이다 ( "Fisher, Neyman 및 Jeffreys는 가설 검정에 동의 할 수있다", Stat Sci, 2003).

요약:

(Srikant와 다른 사람들이 지적한 바와 같이)
CI는 확률로 해석 할 수 없으며 관측되지 않은 매개 변수 GIVEN에 대해 관찰 된 데이터에 대해 아무 것도 알려주지 않습니다. CI는 반복 실험에 대한 진술입니다.

HPD는 알려지지 않은 모수의 사후 분포를 기반으로하는 확률 간격이며 주어진 데이터를 기반으로 확률 기반 해석을 갖습니다.

빈번한 속성 (반복 샘플링) 속성은 바람직한 속성이며 HPD (적절한 사전 요구 사항)와 CI에는 둘 다 있습니다. 알 수없는 매개 변수에 대한 질문에 대답 할 때 주어진 데이터의 HPD 조건

(객관적인 NOT 주관적) 베이지안은 매개 변수의 단일 TRUE 값이 있다는 고전 통계 학자와 동의합니다. 그러나 둘 다이 실제 매개 변수에 대해 추론하는 방식이 다릅니다.

베이지안 HPD는 우리에게 데이터에 대한 좋은 컨디셔닝 방법을 제공하지만 CI의 빈번한 속성에 동의하지 않으면 유용하지 않습니다 (분석 : 좋은 빈번한 속성없이 HPD를 사용하는 사람은 제한적입니다) 망치 만 신경 쓰고 스크류 드라이버를 잊어 버린 목수처럼 파멸 될 것)

마지막으로, 나는이 스레드의 사람들을 보았습니다 (Joris 박사의 의견 : "... 관련 가정은 이전의 확산, 즉 실제 매개 변수에 대한 완전한 지식의 부족을 의미합니다."). 확산 사전을 사용하는 것과 같습니다. 진술에 동의 할 수 있는지 모르겠습니다 (키이스 박사님이 동의합니다). 예를 들어, 기본 선형 모형의 경우 일부 분포는 균일 한 사전 (일부 확산이라고도 함)을 사용하여 얻을 수 있지만 균일 분포가 낮은 정보 우선 순위로 간주 될 수 있음을 의미하지는 않습니다. 일반적으로 NON-INFORMATIVE (Objective)가 매개 변수에 대한 정보가 부족하다는 의미는 아닙니다.

노트 :이 요점 중 많은 부분이 저명한 베이지안 중 한 사람의 강의를 기반으로합니다. 나는 여전히 학생이며 어떤 식 으로든 그를 오해했을 수 있습니다. 미리 사과드립니다.

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