필수 규칙 조건은 대부분의 중간 교과서에 나열되어 있으며 mle과 다릅니다. 다음은 하나의 파라미터 사례에 관한 것이지만 멀티 파라미터에 대한 확장은 간단합니다.

조건 1 : pdf는 고유합니다 (예 :θ≠θ′⇒f(xi;θ)≠f(xi;θ′)

$\theta \ne {\theta }^{\mathrm{\prime }}\Rightarrow f(x_i;\theta )\ne f(x_i;{\theta }^{\mathrm{\prime }})$

$\theta \neq \theta ^{\prime} \Rightarrow f(x_i;\theta)\neq f(x_i;\theta ^{\prime})$

이 조건은 기본적으로 매개 변수가 pdf를 식별 함을 나타냅니다.

조건 2 : pdf는 모든 를 공통적으로 지원합니다.θ

$\theta$

$\theta$

이것이 의미하는 것은 지원이 의존하지 않는다는 것입니다.θ

$\theta$

$\theta$

조건 3 : 실제 매개 변수 인 점 은 일부 세트 의 내부 점입니다. Ωθ0

${\theta }_0$

$\theta_0$Ω

$\mathrm{\Omega }$

$\Omega$

마지막은 가 구간의 끝점에 나타날 가능성에 관한 것입니다 .θ

$\theta$

$\theta$

이 세 가지는 함께 모수 에서 가능성이 최대화되고 방정식을 푸는 mle 임을 보장합니다.θθ0

${\theta }_0$

$\theta_0$θ^

$\hat{\theta }$

$\hat{\theta}$

$$\frac{\partial l(\theta)} {\partial \theta}=0$$

일관성이 있습니다.

조건 4 다음의 PDF 의 함수로 두 번 미분이다θf(x;θ)

$f(x;\theta )$

$f(x;\theta)$θ

$\theta$

$\theta$

조건 5 : 적분 는 의 함수로 적분 부호에서 두 번 구별 될 수 있습니다.θ∫∞−∞f(x;θ) dx

${\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}f(x;\theta )\mathrm{d}x$

$\int_{-\infty}^{\infty} f(x;\theta)\ \mathrm dx$θ

$\theta$

$\theta$

mle의 수렴 이론에서 중심적인 역할을하는 Fisher Information을 도출하려면 마지막 두 개가 필요합니다.

일부 저자에게는이 정도면 충분하지만 우리가 철저해야한다면 점막의 점근 적 정상 성을 보장하는 최종 조건이 추가로 필요합니다.

상태 6 다음에 PDF 세 배의 함수로서 미분이다 . 또한 모든 에 대해 상수 와 함수 가 존재 합니다.θ θ ∈ Ω c M ( x )f(x;θ)

$f(x;\theta )$

$f(x;\theta)$θ

$\theta$

$\theta$θ∈Ω

$\theta \in \mathrm{\Omega }$

$\theta \in \Omega$c

$c$

$c$M(x)

$M(x)$

$M(x)$

$$\left| \frac{\partial^3 log f(x;\theta)}{\partial \theta^3} \right| \leq M(x)$$

와 모든 모두 의 지원| θ − θ 0 | < c x XEθ0[M(X)]<∞

$E_{{\theta }_0}[M(X)]<\mathrm{\infty }$

$E_{\theta_0} \left[M(X)\right] <\infty$|θ−θ0|<c

$|\theta -{\theta }_0|<c$

$|\theta-\theta_0|<c$x

$x$

$x$X

$X$

$X$

본질적으로 마지막 조건은 우리가 에 관한 2 차 Taylor 확장의 나머지 부분이 확률 적으로 제한되어 있으므로 아무런 문제가 없다는 결론을 내릴 수 있습니다 .θ0

${\theta }_0$

$\theta_0$

그게 당신이 생각한 것입니까?

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