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두 개의 미터법 공간 및 과 포함 . 전통적인 미터법 공간 임베딩 은 원래 거리와 최종 거리의 최악의 비율 인 의 품질을 측정합니다 .
$(X, d)$

(X, d)

$(X, d)$ $(Y, f)$

(Y, f)

$(Y, f)$ $μ : X \to Y$

μ : X \to Y

$\mu : X \rightarrow Y$ $μ$

μ

$\mu$

ρ = max_{p, q \in X} {\frac{d (x, y)}{f (μ (x), μ (y))}, \frac{f (μ (x), μ (y))}{d (x, y)}}

$\rho = \max_{p,q \in X} \{ \frac{d(x,y)}{f(\mu(x), \mu(y))}, \frac{f(\mu(x), \mu(y))}{d(x,y)} \}$

: 품질 비록 다른 방법이있다 Dhamdhere 외 ‘일반적인’왜곡 연구 :

σ = \frac{\sum d (x, y)}{\sum f (μ (x), μ (y))} .

$\sigma = \frac{\sum d(x,y)}{\sum f(\mu(x), \mu(y))}.$

그러나 여기서 내가 관심이있는 측정 값은 MDS와 유사한 방법으로 사용되는 측정 값으로 평균 가산 오차를 확인합니다.

ε^{2} = \sum | d (x, y) - f (μ (x), μ (y)) |^{2}

$\varepsilon^2 = \sum | d(x,y) - f(\mu(x), \mu(y))|^2$

MDS와 유사한 방법이 theoryCS 커뮤니티 외부에서 광범위하게 연구되었지만, 이 측정법 하에서 최적화를 검사 하는 한 논문 ( Dhamdhere et al ) 만 알고 있으며 , 라인에 임베드하는 제한된 문제 ( 도 알고 있습니다. ) (측면 참고 : Tasos Sidiropoulos의 2005 MS 논문 은 이전 작업에 대한 좋은 리뷰를 가지고 있습니다) $Y = R$

Y = R

$Y = \mathbb{R}$

이 오류 개념 하에서 사람들이 엄격한 품질 분석에 대해 알고있는 최근의 작업이 있습니까? 이러한 문제는 일반적으로 NP가 어렵지만 더 관심이있는 것은 모든 종류의 근사치입니다.

답변

$ϵ^{2}$

ϵ^{2}

$\epsilon^2$

$O (1)$

O (1)

$O(1)$ $Ω (k)$

Ω (k)

$\Omega(k)$ $ϵ^{2}$

ϵ^{2}

$\epsilon^2$ $k$

k

$k$

$\log^{c} (n)$

\log^{c} (n)

$\log^c(n)$

답변

$ϵ^{2} \leq (ρ - 1) \sum d (x, y)^{2}$

ϵ^{2} \leq (ρ - 1) \sum d (x, y)^{2}

$\epsilon^2 \le (\rho-1)\sum d(x,y)^2$ $f (μ (x), μ (y)) \geq d (x, y)$

f (μ (x), μ (y)) \geq d (x, y)

$f(\mu(x), \mu(y)) \ge d(x,y)$ $x, y$

x, y

$x,y$

$ℓ_{2}$

ℓ_{2}

$\ell_2$

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평균 왜곡 임베딩 q ∈

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