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어떤 유한 아벨 리아 그룹이 이거 야? 3) mod

기술

f(m, G)맵핑 m과 인수가 아닌 고유 한 음수가 아닌 정수 세트 / 목록을 인수로 받아들이 는 함수 를 작성하십시오 G.

m의 정수 쌍을의 G새 정수에 매핑해야합니다 G. ( G, m)는 유한 아벨 리아 그룹 을 형성한다고 보장 되지만, 어떤 요소라도 G정체성 일 수있다.

다음과 같은 중요한 정리가 있습니다.

[각 유한 아벨 리아 그룹]은 주요한 권력 순서의 순환 그룹의 직접 곱에 동형입니다.

f주요 능력 목록을 [p1, ... pn]오름차순으로 반환해야합니다.G는 Z_p1 곱하기 ...

예

  • f((a, b) → (a+b) mod 4, [0, 1, 2, 3])[4]매개 변수가 그룹 Z 4를 설명하므로 반환해야합니다 .

  • f((a, b) → a xor b, [0, 1, 2, 3])[2, 2]매개 변수가 Z 2 × Z 2에 대해 동형 그룹을 설명하므로 반환해야합니다 .

  • f((a, b) → a, [9])[]매개 변수가 사소한 그룹을 설명하므로을 반환해야합니다 . 즉, 제로시 클릭 기의 생성물.

  • m다음과 같이 정의하십시오 .

    (a, b) → (a mod 3 + b mod 3) mod 3
       + ((floor(a / 3) + floor(b / 3)) mod 3) * 3
       + ((floor(a / 9) + floor(b / 9)) mod 9) * 9

    이어서 f(m, [0, 1, ..., 80])반환해야 [3, 3, 9]이 그룹에 동형으로, Z 3 × Z 3 × Z 9

규칙

  • m함수 (또는 함수에 대한 함수 포인터) Int × Int → Int이거나의 G × G새 요소에 대한 사전 매핑 쌍일 수 G있습니다.

  • f매개 변수를 반대 순서로 취할 수도 있습니다 f(G, m). 즉, 구현할 수도 있습니다 .

  • 구현은 이론적 으로 임의로 큰 입력에 효과적이지만 실제로 효율적일 필요는 없습니다.

  • 어떤 종류의 내장 사용에도 제한이 없습니다.

  • 표준 코드 골프 규칙이 적용됩니다. 바이트 단위의 최단 코드가 이깁니다.

리더 보드

점수가 보드에 표시 되려면 다음 형식이어야합니다.

# Language, Bytes

코드 스 니펫 표시

답변

Matlab, 326 바이트

일부 그룹 이론에서는 아이디어가 매우 간단합니다. 여기서 TL; DR 그룹의 가능한 모든 요소 순서를 계산합니다. 그런 다음 특정 주요 전력 주문의 가장 큰 하위 그룹을 찾아 그룹에서 “요소 화”하고 헹구고 반복하십시오.

function r=c(h,l)

                            %factorize group order
N=numel(L);
f=factor(N);
P=unique(f);                %prime factors
for k=1:numel(P);
    E(k)=sum(f==P(k));    %exponents of unique factors
end;

                            %calculate the order O of each element
O=L*0-1;
l=L;
for k=2:N+1;

    l=h(l,L);

    O(l==L & O<0)=k-1
end;

%%

O=unique(O);               % (optional, just for speedupt)
R=[];
                           % for each prime,find the highest power that
                           % divides any of the orders of the element, and
                           % each time substract that from the remaining
                           % exponent in the prime factorization of the
                           % group order
for p=1:nnz(P);                          % loop over primes
    while E(p)>1;                        % loop over remaining exponent
        for e=E(p):-1:1;                 % find the highest exponent
            B=mod(O,P(p)^e)==0;
            if any(B)
                R=[R,P(p)^e];            % if found, add to list
                O(B)=O(B)/(P(p)^e);
                E(p)=E(p)-e;
                break;
            end;
        end;
    end;
    if E(p)==1;
        R=[R,P(p)];
    end;
end;
r=sort(R)

입력 예 :

L = 0:3;
h=@(a,b)mod(a+b,4);
h=@(a,b)bitxor(a,b);
L = 0:80;
h=@(a,b)mod(mod(a,3)+mod(b,3),3)+mod(floor(a/3)+floor(b/3),3)*3+ mod(floor(a/9)+floor(b/9),9)*9;

골프 버전 :

function r=c(h,l);N=numel(L);f=factor(N);P=unique(f);for k=1:numel(P);E(k)=sum(f==P(k));end;O=L*0-1;l=L;for k=2:N+1;l=h(l,L);O(l==L&O<0)=k-1;end;R=[];for p=1:nnz(P);while E(p)>1;for e=E(p):-1:1;B=mod(O,P(p)^e)==0; if any(B);R=[R,P(p)^e]; O(B)=O(B)/(P(p)^e);E(p)=E(p)-e;break;end;end;end;if E(p)==1;R=[R,P(p)];end;end;r=sort(R)

답변

갭 , 159 111 바이트

GAP을 사용하면 곱셈표로 그룹을 간단하게 구성하고 그 불변량을 계산할 수 있습니다.

ai:=    # the golfed version states the function w/o assigning it
function(m,G)
  local t;
  t:=List(G,a->List(G,b->Position(G,m(a,b))));
  # t is inlined in the golfed version
  return AbelianInvariants(GroupByMultiplicationTable(t));
end;

구 버전

제너레이터 G가있는 유한하게 표시된 그룹과 관계 a * b = m (a, b) (G의 모든 a, b)는 우리가 시작한 그룹 (G, m)입니다. 우리는 그것을 만들고 GAP을 사용하여 아벨 리아 불변량을 계산할 수 있습니다 :

ai:=    # the golfed version states the function w/o assigning it
function(m,G)
  local F,n,rels;
  n:=Size(G);
  F:=FreeGroup(n);
  rels:=Union(Set([1..n],i->
                Set([1..n],j->
                  F.(i)*F.(j)/F.(Position(G,m(G[i],G[j]))) ) ));
  # rels is inlined in the golfed version
  return AbelianInvariants(F/rels);
end;

예

m1:=function(a,b) return (a+b) mod 4; end;
# I don't feel like implementing xor
m3:=function(a,b) return 9; end;
m4:=function(a,b)
  return (a+b) mod 3 # no need for inner mod
         + ((QuoInt(a,3)+QuoInt(b,3)) mod 3) * 3
         + ((QuoInt(a,9)+QuoInt(b,9)) mod 9) * 9;
  end;

이제 우리는 할 수 있습니다 :

gap> ai(m1,[0..3]);
[ 4 ]

실제로 정수 목록을 사용하는 것으로 제한되지 않습니다. 올바른 도메인을 사용하면 일반적인 플러스를 사용할 수 있습니다.

ai(\+,List(Integers mod 4));
[ 4 ]

따라서 본질적으로 그룹이 2 요소로 필드 위의 2 차원 벡터 공간의 가산 그룹에 동형임을 사용하여 두 번째 예를 수행 할 수 있습니다.

gap> ai(\+,List(GF(2)^2));
[ 2, 2 ]

나머지 예는 다음과 같습니다.

gap> ai(m3,[9]);
[  ]
gap> ai(m4,[0..80]);
[ 3, 3, 9 ]

추가 비고

이전 버전에서 m은 G에 대한 그룹 구성을 정의 할 필요가 없었습니다. m (a, b) = m (a, c)라면, 그것은 단지 b = c라고 말합니다. 그래서 우리는 할 수 ai(m1,[0..5])있고ai(m3,[5..15]) . m이 G가 아닌 값을 반환하면 두 버전 모두 새 버전은이 경우 끔찍하게 실패합니다.

(G, m)이 아벨 리아식이 아닌 경우, 우리는 아벨 리아 식 버전에 대한 설명을 얻습니다.

gap> ai(\*,List(SymmetricGroup(4)));
[ 2 ]

이것은 AbelianInvariants일반적으로 사용되는 것입니다. 우리는 보통을 호출 AbelianInvariants(SymmetricGroup(4))합니다.

골프 버전

function(m,G)return AbelianInvariants(GroupByMultiplicationTable(List(G,a->List(G,b->Position(G,m(a,b))))));end

답변