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Johnson-Lindenstrauss의 정리는 대략 에있는 점 의 모음 에 대해 맵 가 존재 한다고 말합니다 여기서 모든 :
측정 항목에
대해 유사한 문장을 사용할 수는 없지만 , 더 값으로 있는 방법이 알려져 있습니다 더 약한 보증을 제공함으로써 한계? 예를 들어, 대해 위의 보조 정리 버전이있을 수 있습니다 $S$

에스

$S$ $n$

n

$n$ $R^{d}$

R^{디}

$\mathbb{R}^d$ $f : R^{d} \to R^{k}$

f : R^{d} \to R^{케이}

$f:\mathbb{R}^d \rightarrow \mathbb{R}^k$ $k = O (\log n / ϵ^{2})$

케이 = 영형 (로그 엔 / ϵ^{2})

$k = O(\log n/\epsilon^2)$ $x, y \in S$

엑스, 와이 \in 에스

$x, y \in S$

(1 - ϵ) | | 에프 (엑스) - 에프 (와이) | |_{2} \leq | | 엑스 - 와이 | |_{2} \leq (1 + ϵ) | | 에프 (엑스) - 에프 (와이) | |_{2}

$(1-\epsilon)||f(x)-f(y)||_2 \leq ||x-y||_2 \leq (1+\epsilon)||f(x)-f(y)||_2$ $ℓ_{1}$

ℓ_{1}

$\ell_1$ $ℓ_{1}$

ℓ_{1}

$\ell_1$ 대부분의 점의 거리 만 보존하겠다고 약속하지만 일부는 임의로 왜곡 될 수 있습니다. “너무 가까운”포인트에 대해 곱셈 보장을하지 않는 것?

답변

이러한 긍정적 인 결과에 대한 표준 참조는 안정적인 분포에 관한 Piotr Indyk의 논문입니다.

http://people.csail.mit.edu/indyk/st-fin.ps

그는위한 치수 감소 방법 도시 $ℓ_{1}$

ℓ_{1}

$\ell_1$ 점 중 어느 한 쌍의 사이의 거리가 증가하지 않는다 (팩터 이상으로 $1 + ϵ$

1 + ϵ

$1+\epsilon$ ) (계수 이상으로 감소하지 않는 일정한 확률과 거리와 $1 - ϵ$

1 - ϵ

$1-\epsilon$ )이 높은 확률로. 임베딩의 차원은 지수입니다 $1 / ϵ$

1 / ϵ

$1/\epsilon$ .

내가 알지 못하는 후속 작업이있을 수 있습니다.

답변

( “정상적으로 왜곡을 저하시키는 조건”하에서)에 대한 결과 와 일반적인 매립이있는 ” 완벽한 보증이 포함 된 지표 임베딩” 용지를 참조하십시오 . $ℓ_{1}$

ℓ_{1}

$\ell_1$ $ℓ_{p}$

ℓ_{피}

$\ell_p$

용지의 치수 축소 를 위한 실용 절차 도 살펴보십시오 . $ℓ_{1}$

ℓ_{1}

$\ell_1$

답변

$ℓ_{1}$

ℓ_{1}

$\ell_1$ $O (n / ϵ)$

O (n / ϵ)

$O(n/\epsilon)$ $O (1 / (δ ϵ))$

O (1 / (δ ϵ))

$O(1/(\delta\epsilon))$ $1 - δ$

1 - δ

$1-\delta$

답변

$ℓ_{1}$

ℓ_{1}

$\ell_1$ $S$

에스

$S$ $c$

씨

$c$ $R^{d}$

{아르 자형}^{디}

$\mathbb{R}^d$ $k$

케이

$k$ $c$

씨

$c$ $c$

씨

$c$ $V$

V

$V$ $ℓ_{1}^{d}$

ℓ_{1}^{디}

$\ell_1^d$ $L_{1}$

엘_{1}

$L_1$ $f : ℓ_{1}^{d} \to ℓ_{1}^{k}$

에프 : ℓ_{1}^{디} \to ℓ_{1}^{케이}

$f:\ell_1^d \rightarrow \ell_1^k$ $k = O (ϵ^{- 2} c \log c)$

케이 = 영형 (ϵ^{- 2} 씨 로그 씨)

$k = O(\epsilon^{-2}c\log c)$ $x, y \in V$

엑스, 와이 \in V

$x, y \in V$ $(1 - ϵ) ‖ f (x) - f (y) ‖_{1} \leq ‖ x - y ‖_{1} \leq (1 + ϵ) ‖ f (x) - f (y) ‖_{1}$

(1 - ϵ) ” 에프 (엑스) - 에프 (와이) ”_{1} \leq ” 엑스 - 와이 ”_{1} \leq (1 + ϵ) ” 에프 (엑스) - 에프 (와이) ”_{1}

$(1-\epsilon)\|f(x) - f(y)\|_1 \leq \|x - y\|_1 \leq (1+\epsilon)\|f(x) - f(y)\|_1$ $f$

에프

$f$ $S$

에스

$S$

$f$

에프

$f$ $S$

에스

$S$ $k \times d$

케이 \times 디

$k \times d$

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느슨해 진 치수 축소? 2 ≤

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