이것에 대해 시도해 볼 것입니다. Yao의 원래 표기법을 사용하겠습니다. 이런 식으로 그의 논문과 그의 정의와 대조하기가 더 쉬울 것이다.

하자 입력 유한 집합, 그리고하자 일부 입력에 대한 정확한 대답을하지 못할 수 있습니다 결정적 알고리즘의 유한 집합을합니다. 또한하자 하는 경우 정확한 답에 대한 제공 및 , 그렇지. 또한 입력 에 대해 가 수행 한 쿼리 수를 로 표시 하거나 의 의사 결정 트리 깊이를 표시 합니다.A 0 ϵ ( A , x ) = 0 A x ϵ ( A , x ) = 1 r ( A , x ) A x A나는

$\mathcal{I}$

$\mathcal{I}$에이0

${\mathcal{A}}_0$

$\mathcal{A}_0$ϵ ( A , x ) = 0

$ϵ(A,x)=0$

$\epsilon(A,x)=0$에이

$A$

$A$엑스

$x$

$x$ϵ ( A , x ) = 1

$ϵ(A,x)=1$

$\epsilon(A,x)=1$r(A,x)

$r(A,x)$

$r(A,x)$A

$A$

$A$x

$x$

$x$A

$A$

$A$

평균 비용 : 확률 분포 감안 에 은 평균 비용 의 알고리즘 인 .I A ∈ A 0 C ( A , d ) = ∑ x ∈ I d ( x ) ⋅ r ( A , x )d

$d$

$d$I

$\mathcal{I}$

$\mathcal{I}$A∈A0

$A\in {\mathcal{A}}_0$

$A\in \mathcal{A}_0$C(A,d)=∑x∈Id(x)⋅r(A,x)

$C(A,d)=\sum _{x\in \mathcal{I}}d(x)\cdot r(A,x)$

$C(A,d)=\sum_{x\in\mathcal{I}} d(x)\cdot r(A,x)$

분포 복잡성 : 보자 . 입력에 대한 분포 의 경우, 를 의해 주어진 의 부분 집합으로합니다 . 계산 문제 대한 오차 의 분포 복잡도 는 .d β ( λ ) A 0 β ( λ ) = { A : A ∈ A 0 , ∑ x ∈ I d ( x ) ⋅ ϵ ( A , x ) ≤ λ } λ P F 1 , λ ( P ) = 최대 d 분 A ∈ βλ ∈ [ 0 , 1 ]

$\lambda \in [0,1]$

$\lambda\in[0,1]$디

$d$

$d$β( λ )

$\beta (\lambda )$

$\beta(\lambda)$에이0

${\mathcal{A}}_0$

$\mathcal{A}_0$β( λ ) = { A : A ∈ A0, ∑x ∈ 나디(x)⋅ϵ(A,x)≤λ}

$\beta (\lambda )=\{A:A\in {\mathcal{A}}_0,\sum _{x\in \mathcal{I}}d(x)\cdot ϵ(A,x)\le \lambda \}$

$\beta(\lambda)=\{A : A\in \mathcal{A}_0, \sum_{x\in\mathcal{I}} d(x)\cdot \epsilon(A,x)\leq \lambda\}$λ

$\lambda$

$\lambda$피

$P$

$P$에프1 , λ( P) = 최대디분A ∈ β(λ)C(A,d)

$F_{1,\lambda }(P)=\underset{d}{max}\underset{A\in \beta (\lambda )}{min}C(A,d)$

$F_{1,\lambda}(P)=\max_{d} \min_{A\in \beta(\lambda)} C(A,d)$

λ

$\lambda$

$\lambda$ -tolerance : 분배 패밀리에 IS -tolerant 경우 .A 0 λ 최대 x ∈ I ∑ A ∈ A 0 q ( A ) ⋅ ϵ ( A , x ) ≤ λ큐

$q$

$q$에이0

${\mathcal{A}}_0$

$\mathcal{A}_0$λ

$\lambda$

$\lambda$최대x ∈ 나∑A ∈ A0큐( A ) ⋅ ϵ ( A , x ) ≤ λ

$\underset{x\in \mathcal{I}}{max}\sum _{A\in {\mathcal{A}}_0}q(A)\cdot ϵ(A,x)\le \lambda$

$\max_{x\in \mathcal{I}} \sum_{A\in\mathcal{A}_0} q(A)\cdot \epsilon(A,x)\leq \lambda$

예상 비용 : 무작위 알고리즘 경우 는 에서 tolerant 인 확률 분포입니다 . 예상 비용 의 주어진 입력에 대한 이고 .q λ A 0 R x E ( R , x ) = ∑ A ∈ A 0 q ( A ) ⋅ r ( A , x )R

$R$

$R$q

$q$

$q$λ

$\lambda$

$\lambda$A0

${\mathcal{A}}_0$

$\mathcal{A}_0$R

$R$

$R$x

$x$

$x$E(R,x)=∑A∈A0q(A)⋅r(A,x)

$E(R,x)=\sum _{A\in {\mathcal{A}}_0}q(A)\cdot r(A,x)$

$E(R,x)=\sum_{A\in \mathcal{A}_0} q(A)\cdot r(A,x)$

무작위 복잡성 : 하자 . 오류 의 무작위 복잡도 는 입니다.λ F 2 , λ = 최소 R max x ∈ I E ( R , x )λ∈[0,1]

$\lambda \in [0,1]$

$\lambda\in[0,1]$λ

$\lambda$

$\lambda$F2,λ=minRmaxx∈IE(R,x)

$F_{2,\lambda }=\underset{R}{min}\underset{x\in \mathcal{I}}{max}E(R,x)$

$F_{2,\lambda}=\min_R \max_{x\in\mathcal{I}} E(R,x)$

이제 사업을 시작할 준비가되었습니다. 우리가 배포 주어진다 입증 할 입력에와 무작위 알고리즘 (즉, 배포 에 )R q A 0d

$d$

$d$R

$R$

$R$q

$q$

$q$A0

${\mathcal{A}}_0$

$\mathcal{A}_0$

Montecarlo 알고리즘에 대한 Yao의 Minimax 원리
대 .λ∈[0,1/2]

maxx∈IE(R,x)≥12minA∈β(2λ)C(A,d)

$$\underset{x\in \mathcal{I}}{max}E(R,x)\ge \frac{1}{2}\underset{A\in \beta (2\lambda )}{min}C(A,d)$$

$$\begin{equation}\max_{x\in\mathcal{I}} E(R,x)\geq \frac{1}{2}\min_{A\in \beta(2\lambda)} C(A,d) \end{equation}$$ λ∈[0,1/2]

$\lambda \in [0,1/2]$

$\lambda\in[0,1/2]$

나는 Fich, Meyer auf der Heide, Ragde 및 Wigderson (Lemma 4 참조)이 제시 한 접근법을 따를 것 입니다. 그들의 접근 방식은 Las Vegas 알고리즘에 대한 특성을 나타내지 않지만 (하한에만 해당), 우리의 목적에는 충분합니다. 그들의 증거로부터, 및IA0

${\mathcal{A}}_0$

$\mathcal{A}_0$I

$\mathcal{I}$

$\mathcal{I}$

주장 1. .maxx∈IE(R,x)≥minA∈A0C(A,d)

$\underset{x\in \mathcal{I}}{max}E(R,x)\ge \underset{A\in {\mathcal{A}}_0}{min}C(A,d)$

$\max_{x\in \mathcal{I}} E(R,x)\geq \min_{A\in \mathcal{A}_0} C(A,d)$

정확한 숫자를 얻기 위해 비슷한 것을 할 것입니다. 무작위 알고리즘 의해 주어진 확률 분포 가 대해 tolerant 라면,

제품군 을R λ A 0 λq

$q$

$q$R

$R$

$R$λ

$\lambda$

$\lambda$A0

${\mathcal{A}}_0$

$\mathcal{A}_0$A0β(2λ)

$$\begin{align*} \lambda &\geq \max_{x\in \mathcal{I}}\left\{ \sum_{A\in\mathcal{A}_0} q(A)\cdot \epsilon(A,x) \right\}\\ &\geq \sum_{x\in\mathcal{I}} d(x) \sum_{A\in \mathcal{A}_0} q(a)\cdot \epsilon(A,x)\\ &= \sum_{A\in \mathcal{A}_0} q(a)\sum_{x\in\mathcal{I}} d(x) \cdot \epsilon(A,x)\\ &\geq \min_{A\in \mathcal{A}_0}\left\{ \sum_{x\in\mathcal{I}} d(x) \cdot \epsilon(A,x) \right\}. \end{align*}$$ A0

${\mathcal{A}}_0$

$\mathcal{A}_0$β(2λ)

$\beta (2\lambda )$

$\beta(2\lambda)$ 우리는 그것을 본다

$$\begin{align*} \lambda &\geq \max_{x\in \mathcal{I}}\left\{ \sum_{A\in\mathcal{A}_0} q(A)\cdot \epsilon(A,x) \right\}\\ &\geq \max_{x\in \mathcal{I}}\left\{ \sum_{A\in\beta(2\lambda)} q(A)\cdot \epsilon(A,x) \right\}\\ &\geq \sum_{x\in\mathcal{I}} d(x) \sum_{A\in \beta(2\lambda)} q(a)\cdot \epsilon(A,x)\\ &= \sum_{A\in \beta(2\lambda)} q(a)\sum_{x\in\mathcal{I}} d(x) \cdot \epsilon(A,x)\\ &\geq \min_{A\in \beta(2\lambda)}\left\{ \frac{1}{2}\sum_{x\in\mathcal{I}} d(x) \cdot \epsilon(A,x) \right\}, \end{align*}$$

여기서 두 번째 부등식은 이므로 마지막 부등식은 합을 2로 나눈 값이 보다 클 수없는 의 정의에 의해 주어집니다 . 따라서
β ( 2 λ ) λ max x ∈ I { ∑ A ∈ A 0 q ( A ) ⋅ ϵ ( A , x ) } ≥ 1β(2λ)⊆A0

$\beta (2\lambda )\subseteq {\mathcal{A}}_0$

$\beta(2\lambda) \subseteq \mathcal{A}_0$β(2λ)

$\beta (2\lambda )$

$\beta(2\lambda)$λ

$\lambda$

$\lambda$

$$\begin{equation}\max_{x\in \mathcal{I}}\left\{ \sum_{A\in\mathcal{A}_0} q(A)\cdot \epsilon(A,x) \right\}\geq\frac{1}{2} \min_{A\in \beta(2\lambda)}\left\{ \sum_{x\in\mathcal{I}} d(x) \cdot \epsilon(A,x) \right\}. \end{equation}$$

것을주의함으로써 매핑 및 매핑 및 상기 제 1, 이제 우리는 안전 함수 바꿀 수 이상 부등식하여 수득 원하는 불평등.{ 0 , 1 } r N ϵ r ( A , x )ϵ

$ϵ$

$\epsilon${0,1}

$\{0,1\}$

$\{0,1\}$r

$r$

$r$N

$\mathbb{N}$

$\mathbb{N}$ϵ

$ϵ$

$\epsilon$r(A,x)

$r(A,x)$

$r(A,x)$

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