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역 Ackermann 함수는 알고리즘을 분석 할 때 자주 발생합니다. 그것의 좋은 발표는 여기에 있습니다 : http://www.gabrielnivasch.org/fun/inverse-ackermann .

α_{1} (n) = [n / 2]

$\alpha_1(n) = [n/2]$

α_{2} (n) = [\log_{2} n]

$\alpha_2(n) = [\log_2 n]$

α_{3} (n) = \log^{*} n

$\alpha_3(n) = \log^* n$

. . .

$...$

α_{k} (n) = 1 + α_{k} (α_{k - 1} (n))

$\alpha_k(n) = 1 + \alpha_k(\alpha_{k−1}(n))$

α (n) = min {k : α_{k} (n) \leq 3}

$\alpha(n) = \min\{k: \alpha_k(n)\leq 3\}$

내 질문은 : 함수 무엇입니까?

분명히 입니다. 에 어떤 더 엄격한 경계를 줄 수 있습니까? 가요 ?

k (n) = min {k : α_{k} (n) \leq k}

$k(n) = \min \{k: \alpha_k(n) \leq k\}$ $1 ≪ k (n) \leq α (n)$

1 ≪ k (n) \leq α (n)

$1\ll k(n) \leq \alpha(n)$ $k (n)$

k (n)

$k(n)$ $k (n) \leq \log α (n)$

k (n) \leq \log α (n)

$k(n) \leq \log\alpha(n)$

답변

하자 의 역 할 . 입니다. 라고 주장합니다 . $A_{k}$

A_{k}

$A_k$ $α_{k}$

α_{k}

$\alpha_k$ $A_{1} (x) = 2 x, A_{2} (x) = 2^{x}, \dots$

A_{1} (x) = 2 x, A_{2} (x) = 2^{x}, \dots

$A_1(x) = 2x, A_2(x) = 2^x, \dots$ $k^{- 1} (x) = A_{x} (x)$

k^{- 1} (x) = A_{x} (x)

$k^{-1}(x) = A_x(x)$

이후 , 이후 , . 결과적으로 입니다. $x = α_{x} (A_{x} (x))$

x = α_{x} (A_{x} (x))

$x = \alpha_x(A_x(x))$ $\forall z, α_{y} (z) > α_{x} (z)$

\forall z, α_{y} (z) > α_{x} (z)

$\forall z, \alpha_y(z) > \alpha_x(z)$ $α_{y} (A_{x} (x)) > α_{x} (A_{x} (x)) = x$

α_{y} (A_{x} (x)) > α_{x} (A_{x} (x)) = x

$\alpha_y(A_x(x)) > \alpha_x(A_x(x)) = x$ $k (A_{x} (x)) = x$

k (A_{x} (x)) = x

$k(A_x(x)) = x$

이제 의 값을 고려하십시오 . 의 정의에 의해 , 이것이 . 우리는 알고있다 , 그래서 . 이라고 주장합니다 . 입니다. 이제 이므로 입니다. 이후 , 그래서 . 따라서 $α (k^{- 1} (n)) = α (A_{n} (n))$

α (k^{- 1} (n)) = α (A_{n} (n))

$\alpha(k^{-1}(n)) = \alpha(A_n(n))$ $α$

α

$\alpha$ $min_{z} {α_{z} (A_{n} (n)) \leq 3}$

min_{z} {α_{z} (A_{n} (n)) \leq 3}

$\min_z \{\alpha_z(A_n(n)) \leq 3\}$ $α_{n} (A_{n} (n)) = n$

α_{n} (A_{n} (n)) = n

$\alpha_n(A_n(n)) = n$ $α (A_{n} (n)) > n$

α (A_{n} (n)) > n

$\alpha(A_n(n)) > n$ $α (A_{n} (n)) \leq n + 2$

α (A_{n} (n)) \leq n + 2

$\alpha(A_n(n)) \leq n+2$ $α_{n + 1} (A_{n} (n)) = 1 + α_{n + 1} (n)$

α_{n + 1} (A_{n} (n)) = 1 + α_{n + 1} (n)

$\alpha_{n+1}(A_n(n)) = 1+\alpha_{n+1}(n)$ $α (n) = min_{z} {α_{z} (n) \leq 3}$

α (n) = min_{z} {α_{z} (n) \leq 3}

$\alpha(n) = \min_z\{\alpha_z(n) \leq 3\}$ $α_{α (n)} (n) \leq 3$

α_{α (n)} (n) \leq 3

$\alpha_{\alpha(n)}(n) \leq 3$ $n + 1 > α (n)$

n + 1 > α (n)

$n+1 > \alpha(n)$ $α_{n + 1} (n) \leq 3$

α_{n + 1} (n) \leq 3

$\alpha_{n+1}(n) \leq 3$ $α_{n + 1} (A_{n} (n)) \leq 4$

α_{n + 1} (A_{n} (n)) \leq 4

$\alpha_{n+1}(A_n(n)) \leq 4$ $α_{n + 2} (A_{n} (n)) = 1 + α_{n + 2} (α_{n + 1} (n)) \leq 1 + α_{n + 2} (4) \leq 3$

α_{n + 2} (A_{n} (n)) = 1 + α_{n + 2} (α_{n + 1} (n)) \leq 1 + α_{n + 2} (4) \leq 3

$\alpha_{n+2}(A_n(n)) = 1 + \alpha_{n+2}(\alpha_{n+1}(n)) \leq 1 + \alpha_{n+2}(4) \leq 3$ .

따라서 우리는 이므로 와 는 본질적으로 같습니다. $n < α (k^{- 1} (n)) \leq n + 2$

n < α (k^{- 1} (n)) \leq n + 2

$n < \alpha(k^{-1}(n)) \leq n+2$ $k$

k

$k$ $α$

α

$\alpha$

답변

이것은 올바르지 않습니다. 의견을 참조하십시오.

이 함수에 매우 가까운 함수는 " " 라고 불리며 Pettie의 "Splay Trees, Davenport-Schinzel Sequences 및 Deque Conjecture" 에서 " deque 작업 [splay tree]에서 단지 시간. 여기서 은 에 상수를 매핑하는 역 Ackermann 함수의 최소 적용 횟수입니다 . " $α^{*}$

$α^{*}$
$\alpha^*$ $n$
$n$
$n$ $O (n α^{*} (n))$
$O (n α^{*} (n))$
$O(n\alpha^*(n))$ $α^{*} (n)$
$α^{*} (n)$
$\alpha^*(n)$ $n$
$n$

~~$n$~~

이 함수는 매우 느리게 성장하며 보다 느리게 성장 합니다. 함수를 고려하십시오. $\log α (n)$

\log α (n)

$\log \alpha(n)$ $f : N \to N$

f : N \to N

$f:\mathbb{N} \to \mathbb{N}$

f (n) = {\begin{cases} 1 & n = 0 \\ 2^{f (n - 1)} & n > 0 \end{cases}

$f(n) = \cases{1 & n = 0\\2^{f(n-1)} & n > 0}$

이 함수는 만큼 빠르게 성장 하므로 보다 느리게 성장 합니다. 이제 및 을 평가하겠습니다 . $A (4, n)$

A (4, n)

$A(4,n)$ $A^{'} (n) = A (n, n)$

A^{'} (n) = A (n, n)

$A'(n) = A(n,n)$ $\log α (n)$

\log α (n)

$\log \alpha(n)$ $α^{*} (n)$

α^{*} (n)

$\alpha^*(n)$ $A^{'} (f (n))$

A^{'} (f (n))

$A'(f(n))$

\log α (A^{'} (f (n))) = \log f (n) = f (n - 1)

$\log \alpha(A'(f(n))) = \log f(n) = f(n-1)$

α^{*} (A^{'} (f (n))) = 1 + α^{*} (f (n)) < 1 + α^{*} (A^{'} (n)) < 2 + α^{*} (n)

$\alpha^*(A'(f(n))) = 1 + \alpha^*(f(n)) < 1 + \alpha^*(A'(n)) < 2 + \alpha^*(n)$

~~이후 , 보다 훨씬 빠르기 때문에 성장 . $f (n - 1) \in ω (2 + α^{*} (n))$~~

$f (n - 1) \in ω (2 + α^{*} (n))$
$f(n-1) \in \omega(2+\alpha^*(n))$ $\log α (n)$
$\log α (n)$
$\log \alpha(n)$ $α^{*} (n)$
$α^{*} (n)$

~~$\alpha^*(n)$~~

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역 Ackermann과 재미 http://www.gabrielnivasch.org/fun/inverse-ackermann . α1(n)=[n/2]α1(n)=[n/2]\alpha_1(n) =

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